WisFaq!

Determinant inverse matrix

Hoi!
Voor een oefening moest ik kijken of de matrix inverteerbaar was, en zo ja, wat dan de inverse was. Aangezien de formule is A^-1 = 1/detA . adjA, heb ik die ook gebruikt.
De determinant van de matrix die ik kreeg is 14. Dus is het eigenlijk logisch dat de determinant van de inverse 14*14 (196) is.
Nu vraag ik mij af hoe ik dat zou moeten bewijzen. Stel dus dat ik op een examen die stelling krijg, hoe moet ik dat bewijzen?
Alvast bedankt voor jullie hulp!
Tamara

Tamara
5-12-2003

Antwoord

Waarom zou de determinant van de inverse 196 moeten zijn?

Ten eerste staat er 1/det(A) en niet det(A), ten tweede is er niet onmiddellijk iets geweten over de determinant van adj(A). Ten derde is de determinant van een constante maal een matrix niet zomaar die constante maal de determinant van die matrix. De constante moet verheven worden tot de dimensie van de matrix.

Het verband tussen det(A) en det(A^-1) volgt direct uit

A.A^-1 = I
- det(A).det(A^-1) = det(I)
- det(A) = 1/det(A^-1)

Aangezien adj(A) = det(A).A^-1 geldt ook

det(adj(A))
= det(det(A).A^-1)
= det(A)^n.det(A^-1)
= det(A)^(n-1)

cl
5-12-2003