WisFaq!

Bewijzen bij stelsels

Hallo,

Als A en B elementen zijn van R^nxn en A is regulier dan is (A+B)*A^-1*(A-b)=(A-B)*A^-1*(A+B).

De nxn matrix A is niet singulier en A³=A². Bewijs dat A=I_n.

Is A³=I_n, dan is A een inverteerbare matrix. Bepaal de inverse en geef een veralgeming.

Is A inverteerbaar, dan is de getransponeerde matrix A^t ook inverteerbaar en (A^t)^-1= (A^-1)^t.

a.
3-12-2003

Antwoord

Hoi,

Met een paar tips kom je er:

1. (A+B).A^-1.(A-B)=(A-B).A^-1.(A+B)
Werk linker- en rechtlid uit mbv de distributiviteits- en associativiteitsregels. Je weet dat A.A^-1=A^-1.A=I. Links en rechts vereenvoudigen beide tot A-B.A^-1.B en zijn daarom gelijk.

2. A³=A², dus moet A².(A-I)=0. Omdat A regulier is, bestaat A^-1. Je rekent zelf na wat A^-1.A^-1.A².(A-I)=0 je leert...

3. Aⁿ=I dus moet det(Aⁿ)=detⁿ(A)=det(I)=1, zodat det(A)¹0. De inverse zelf zie je zo: Aⁿ=A^n-1.A=A.A^n-1=I, dus moet A^-1=A^n-1.

4. Een matrix Y is de inverse van X als X.Y=Y.X=I. Ga na dat deze twee vergelijkingen gelden voor X=A^t en Y=(A^-1)^t. Hieruit besluit je dan dat Y=X^-1 of dat (A^-1)^t=(A^t)^-1. Extra tip: (X.Y)^t=Y^t.X^t.

Groetjes,
Johan

andros
3-12-2003