WisFaq!

Modulorekenen

beste meneer/mevrouw

Ik ben een student aan de eerste graads lerarenopleiding en ik moet een probleem oplossen met modulorekenen. En wel:
Bewijs: de vergelijking x²=1(mod p^k) met p is priem en p$>$2 heeft precies 2 oplossingen, namelijk x=1(mod p^k) en x=-1(mod p^k). Ik heb echt geen idee hoe ik hieraan moet beginnen. Kunnen jullie mij misschien helpen?

Alvast bedankt

Greetje van Broekhoven
2-12-2003

Antwoord

Je kunt dit als volgt aanpakken:
x² = 1 (mod p^k)
x² - 1 = 0 (mod p^k)
(x + 1)·(x - 1) = 0 (mod p^k)
dus p^k is een deler van (x + 1)·(x - 1)
Als het priemgetal p (p2) deler is van x + 1, dan kan p niet tegelijk ook deler zijn van x - 1, omdat er maar een verschil van 2 tussen deze twee getallen zit. Andersom geldt iets dergelijks.
Dus p is òf deler van x + 1, òf deler van x - 1.
Dus ook p^k is òf deler van x + 1, òf deler van x - 1.
Daarmee is het aangetoond.
Groet,

Anneke
2-12-2003