WisFaq!

Afstand tot een vlak

Hallo wisfaq
Tijdens het studeren voor mijn examens kwam ik enkele probleem oefeningen tegen kunnen jullie mij helpen?
*Bepaal de verzameling punten waarvoor de afstand tot het vlak a- x+2y+2z+1=0 het drievoud is van de afstand tot b-2x-6y+3z-3=0. ik heb het geprobeerd met de formule van de afstand tussen punt en vlak maar ik kom niet tot de oplossing *11x-68y+13z-34=0/ *25x-40y+41z-20=0

*Gegeven de bol met vgl x²+y²+z²-2x+6y-4z-35=0 Bepaal de vgl van de raakvlakken aan deze bol die evenwijdig zijn met het vlak 6x+3y-27-5. (het middelpunt is volgens mij m(1,-3,2) en r=7. de vlakken zijn van de vorm 6x+3y-2z+t=0. oplossing is 6x+3y-2z-42=0 en 6x+3y-2z+56=0

Bedankt!

kirsten
30-11-2003

Antwoord

De afstand van een willekeurig punt P(a,b,c) tot het vlak a: x+2y+2z=1 wordt gegeven door de formule d(P,a) = |a+2b+2c-1|/3
De 3 in de noemer is de lengte van de normaalvector (1,2,2).
Op exact dezelfde manier is de andere afstand gelijk aan d(P,b) = |2a-6b+3c-3|/7.
Nu wil je dat d(P,a) = 3.d(P,b).
Vervanging van d(P,a) en d(P,b) door bovenstaande uitdrukkingen en dan kruislings vermenigvuldigen moet je dan toch naar de oplossing brengen. Door de absoluutstrepen krijg je twee oplossingen. Probeer het eens. Uiteraard kun je het tripel (a,b,c) direct vervangen door (x,y,z).

Het middelpunt en de straal van de bol zijn inderdaad zoals je ze hebt berekend.
De raakvlakken die je zoekt zijn in ieder geval van de vorm 6x+3y-2z=k. Maak vervolgens de afstand van het middelpunt van de bol tot dit vlak gelijk aan de straal 7 en het wordt een raakvlak!
Je krijgt dus: | 6.1 + 3.-3 - 2.2 - k |/7 = 7.
Kruislings vermenigvuldigen en de absoluutstrepen wegwerken leveren de twee oplossingen op.

MBL
30-11-2003