WisFaq!

Re: Continuïteit en differenteerbaarheid

Hoi,

sorry ik wilde ook de vraag stellen wat limieten met continuïteit te maken heeft. Ik d8, laat ik maar reageren op het antwoord misschien dat het me ook dan opeens duidelijk wordt, maar helaas nog niet.
In een boek dat ik heb geleend staat dat een functie continu is (a) bij x=a als de lim van x-a bestaat. (b) de functie gedefineerd is voor de waarde x=a en
(c) als de lim x-a f(x) = f(a).
Ik snap niet wat die 3 regeltjes met continuïteit te maken heeft.

ps MBL thnx .

Met vriendelijke groeten,
Peter

Peter
29-11-2003

Antwoord

Ten eerste moet de functie bij x = a gedefinieerd zijn. Een moeilijke zin misschien, maar het betekent niets meer dan dat f(a) moet bestaan.
Vervolgens moeten, wanneer x van links of van rechts het getal a nadert, de functiewaarden tot f(a) naderen.
Als deze voorwaarden vervuld zijn, noemt men f continu in x = a.
Een simpel voorbeeld: laat f(x) = x² voor elke x ¹2 en laat f(2) = 3. Is deze functie nu continu in x = 2?
In ieder geval bestaat f(2), want er is vastgelegd dat f(2) = 3.
Wanneer x nadert tot 2, dan nadert de functiewaarde tot 4, maar dat is ongelijk aan f(2)! Dus is er geen continuiteit bij x = 2.
Grafisch komt het neer op het volgende: de grafiek van f(x) = x² is de bekende parabool. Deze zou in het normale geval door (2,4) moeten gaan, maar er is nu bepaald dat f(2) = 3. Het punt (2,3) vormt dus een volkomen geïsoleerd, apart liggend punt. Op de plaats van (2,4) zit er een perforatie in de parabool; dit punt wordt vervangen door het punt (2,3). Wil je dan ook de grafiek tekenen, dan zul je op het moment dat x = 2 aan de beurt is, je pen van het papier moeten halen om het punt (2,3) apart te tekenen. De loop van de grafiek wordt dus even verstoord en dat is wat men 'discontinu' noemt.
Natuurlijk is deze discontinuïteit opzettelijk veroorzaakt. Door af te spreken dat f(2) = 3 in plaats van f(2) = 4, verbreek je het normale verloop van de functie. Maar er zijn veel functies te noemen die dit discontinue gedrag volkomen spontaan vertonen.

MBL
29-11-2003