WisFaq!

Links-rechts orientatie in R3

Stel ik heb 3 willekeurige punten A,B en C in R3
(onafhankelijke punten, dus vlakbepalend).
Ik sta op punt A en kijk naar punt B. Punt C ligt rechts van mij (rechts van de lijn AB).De term rechts is daarmee bepaald. Hoe kan ik WISKUNDIG, gegeven een vierde willekeurige punt D op het vlak, bepalen of punt D links of rechts van mijn kijkrichting (vectorrichting AB) ligt?

Peter Krijgsman
26-11-2003

Antwoord

Je kunt twee situaties onderscheiden:
Een van de punten A en B is de oorsprong O, of niet.
Eerst het geval dat geen van de punten gelijk is aan O.
Noem a de vector OA, en b de vector OB, enz.
Beschouw het vlak door O, A en B.
Dit vlak verdeelt de ruimte in twee helften.
Voor de punten X in de ene helft geldt:
det(a,b,x) 0
en voor de punten X in de andere helft geldt:
det(a,b,x) 0
Bereken dus det(a,b,c) en det(a,b,d). Als deze beide positief of beide negatief zijn, ligt D ook rechts van de kijkrichting.
Met det(a,b,c) bedoel ik de determinant van de matrix, gevormd door de vectoren a, b en c.

Dan het tweede geval.
Stel A is de oorsprong.
Beschouw het vlak OBC door O, B en C.
Dit vlak verdeelt de ruimte in twee helften.
Het uitwendig product v van b en c is een vector loodrecht op OBC.
Als D aan dezelfde kant van AB ligt als C, dan wijst het uitwendig product w van b en d dezelfde kant op als v, en anders tegengesteld.
Dit kun je controleren door het inwendig product van v en w te berekenen. Is dit positief, dan wijzen ze dezelfde kant op, en anders tegengesteld.

Als je niet weet hoe je een determinant, of uitwendig product of inwendig product berekent, dan hoor ik het nog wel.
groet,

Anneke
29-11-2003