WisFaq!

Differentiaal coefficient

Hoi,

Ik kom niet uit het volgende:
d(sin x) / dx = lim (dx $\to$ 0 ) ( (sin(x+dx)-sinx) / dx )

= lim (dx $\to$ 0 ) { (2 sin (dx/2) cos (x + (dx/2)) ) / dx }

= lim (dx $\to$ 0 ) (sin (dx/2) / (dx/2) ) x lim (dx $\to$ 0 ) { cos (x+(dx/2)) }

Deze stappen begrijp ik niet en weet niet hoe ze zo tot stand zijn gekomen.

dx $\to$ 0 dan wordt de eerste limiet gelijk aan 1 en de 2 aan cos x. het komt er dus gewoon op neer dat je sin x gaat differentieren. ( Dit stukje begrijp ik wel )

Zouden jullie de stappen kunnen uitleggen en waarom het zo gedaan wordt met limieten ?

Alvast bedankt !
MvG Geert.

Geert
24-11-2003

Antwoord

Op de middelbare school heb je het bepalen van de afgeleide functies gedaan door min of meer klakkeloos een aantal regels te volgen. Ongetwijfeld klinken namen als quotiëntregel, productregel, kettingregel je als muziek (?) in de oren. Over de bewijzen dat die regels inderdaad zijn zoals je ze geleerd hebt, zal waarschijnlijk niet al teveel drukte zijn gemaakt. Maar op het niveau waarop je nu bezig bent met de wiskunde kan dat eenvoudigweg niet meer. Ten eerste heb je gewoon recht op een verklaring van het 'waarom' van de regels en ten tweede zul je functies tegenkomen die zich aan de regels onttrekken (bijvoorbeeld omdat ze niet zijn vastgelegd met behulp van een eenvoudige formule).
Om een en ander op te lossen moet er van het begrip 'afgeleide' dus eerst een definitie komen. Je zult deze definitie vast wel eens gezien hebben. Ze luidt als volgt:

f'(x) = Lim [f(x+h) - f(x)]/h waarbij h $\to$0 (de rol van h is dezelfde als wat jij dx noemt, maar de letter h oogt wat eenvoudiger).

Toegepast op de functie f(x) = sin(x) wordt dit dan:

Lim [sin(x+h) - sin(x)]/h met h$\to$0

De teller van dit (differentie)quotiënt wordt nu eerst bewerkt met de formule sinA - sinB = 2cos¹/₂(A+B)sin¹/₂(A-B), je bekend uit de goniometrie.
Het resultaat is:2cos¹/₂(x+¹/₂h)sin¹/₂h

Vervolgens wordt er een beroep gedaan op de standaardlimiet Lim [sint]/t = 1 wanneer t $\to$0.

Om deze standaardlimiet te kunnen gebruiken, moet er in de noemer ¹/₂h staan, en dat kan gerealiseerd worden door de 2 uit de teller omlaag te halen. Je hebt nu dus de combinatie sin(¹/₂h)/(¹/₂h) en dit nadert 1 als h $\to$0 gaat.

Het deel cos(x+¹/₂h) wordt probleemloos cosx, want ¹/₂h wordt 0.
Het eindresultaat is inderdaad wat je schrijft: de afgeleide is cos(x), en dat wist je natuurlijk allang.

Waarom dan toch deze ingewikkelde aanpak? Het is vooral bedoeld om te laten zien hoe de definitie zijn werk doet.
Voor ingewikkelder functies is deze aanpak totaal ongeschikt en dan gaan de regels weer gewoon het werk overnemen.

MBL
24-11-2003