WisFaq!

Bewijs dat 24 een deler is van p²-q²

Hoe kun je dan bewijzen dat 24 een deler is van p²-q² waarbij p en q twee willekeurige priemgetallen groter dan 5 zijn?

van de velde
22-11-2003

Antwoord

Omdat p en q beide priem zijn, moeten ze beide oneven zijn.
Dus p+q en p-q zijn beide even, en een van de twee is een viervoud.
Dus p²-q² = (p+q)·(p-q) is deelbaar door 8.
p en q zijn priem en groter dan 5, dus niet deelbaar door 3.
Je kunt dan de volgende gevallen onderscheiden:
p = 3k + 1 of p = 3k - 1
q = 3m + 1 of q = 3m - 1
Dit geeft 4 mogelijke combinaties.
Bij elk van die vier combinaties vind je dat
(p+q)·(p-q) deelbaar is door 3
Ergo: ...
groet,

Anneke
22-11-2003