WisFaq!

Gonio - bewijzen

Hey , ik heb problemen met de volgende opgaven :

Gegeven is dat a,ben ghoeken zijn van een driehoek. Hierbij moet ik bewijzen dat :

a) sin 2a + sin 2b - sin2g = 4 cos a cos b sin g .

b) cos a/(sin bsing )+ cos b / (sin g sin a) + cos g/ ( sin a sin b) = 2

Ik heb echter veel moeilijkheden met deze oefeningen omdat ik niet juist weeet hoe ik moet beginnen . Bij elk oefening moet je anders beginnen en het staat noooit geschreven hoe? Ik begryp niet , hoe men vlug kan weten , hoe men moet beginnen , ... ZO zal ik proberen de andere oefeningen o pte lossen als ik deze 2 eens goed begrijp.

Misschien kan een tip ook helpen hoe ik de volgende oefening kan oplossen.

BEwijs dat een Dabc rechthoekig is in a =

(sin b + sin g ) / ( cos b + cos g ) = sin a

Alvast bedankt.

Naïl
22-11-2003

Antwoord

dag Naïl,

Je geeft precies aan wat de moeilijkheid is, namelijk: hoe kom je op het idee.
Dat geldt in zeer sterke mate voor goniometrische vergelijkingen.
Ik ben bang dat daar niet veel meer op te antwoorden is dan:
probeer eens een formule, werk dat uit, begin aan beide kanten, kijk of je bij beide kanten op hetzelfde uitkomt.
Misschien een kleine troost, dat veel oefenen met dit soort opgaven werkelijk 'kunst baart'.

Neem je eerste opgave.
Eerst het linkerlid.
Het ligt een beetje voor de hand om de formule voor sin(2x) hierop toe te passen.
Je krijgt dan :
2·sin(a)·cos(a) + 2·sin(b)·cos(b) - 2·sin(g)·cos(g)
Nu moet je op het idee komen (tja...) dat er iets aan de hand is met de som van de hoeken van een driehoek.
dus
g = 180° - (a + b)
Daarmee kun je sin(g) en cos(g) uitdrukken in sinus en cosinus van a en b.
Dan blijkt er een heleboel te vereenvoudigen te zijn, gemeenschappelijke factoren bij elkaar en zo, en krijg je uiteindelijk:
4·cos²(b)·sin(a)·cos(a) + 4·cos²(a)·sin(b)·cos(b)
Dit moet je op een of andere manier gelijk zien te krijgen aan het rechterlid.
Zie je welke gemeenschappelijke factoren je buiten haakjes kunt brengen? Wat blijft er binnen de haakjes over? Zie je hoe je hier g weer in kunt krijgen?

De tweede opgave gaat eigenlijk een beetje op vergelijkbare manier. Af en toe stug doorrekenen, af en toe even afstand nemen en bedenken: waar wil ik naar toe.

De derde vraag:
De ene kant op (als Dabc rechthoekig is a, dan ...)
is de minst moeilijke van de twee.
Bedenk dat sin(90°) = 1
en dat b = 90° - g.
De andere kant op is lastiger.
Maak weer gebruik van g = 180° - (a + b)

Ik hoop dat dit je verder helpt.
succes.

Anneke
22-11-2003