WisFaq!

Re: Nulpuntberekeningen

Alvast erg bedankt voor het antwoord, maar toch zijn er nog enkele onduidelijkheden.

1. kunt u misschien uitleggen hoe het komt dat in de regula falsi methode er een - moet staan voor de b en zou u dit dan misschien kunnen toelichten met een voorbeeld? hoe wij ook proberen, wij blijven op andere antwoorden uitkomen zoals in het voorbeeld geven... misschien tot u het nader kan toelichten?

2. Nog een vraag betreffende de regula falsi methode: Wij snappen wat er gebeurt als je en plaatje tekent, maar wij snappen niet waarom deze formule zo is opgesteld. Misschien dat u kunt uitleggen waarom je bijv b-a doet en vermenigvuldigt met iets... wij vinden het enorm interessant maar kunnen het niet uitstaan dat we het antwoord niet weten.

3. Wij hadden zelf ook door dat de secans methode ongeveer het zelfde is als de Newton Raphson methode. Wij hebben deze methode namelijk al nader onderzocht. Het enige verschil is dat bij secans de f'(In) is vervangen. Dit begrepen wij zelf ook. Wellicht heeft u onze vraag verkeerd opgevat of hebben wij onze vraag niet duidelijk gesteld. Wij probeerden namelijk om de formule te herschrijven dat je f'(In) = .... overhoudt.
Dit kan herschreven worden In+1 = In - f(In)/f'(In)
tot: f'(In) = ( f(In) - f(In-1))/ (In - In-1)
Zoals wij al in bovend stukje hebben beschreven kunnen wij maar niet op deze waarde van f' komen. Kunt u misschien deze formule goed herleiden.
Wat u terug had getypt klopt inderdaad. Bij invulling van de vervangen f' waarde ontstaat de volgende formule:
In+1 = In - (In-In-1)/(f(In)-f(In-1))·f(In)
waarom mag je niet zeggen dat -(In+1) gelijk is aan -I(n-1)

4. De uitleg over de methode van muller klinkt nu nog erg ingewikkeld. Helaas kunnen we ook nergens informatie over deze methode vinden.

Sorry dat we u weer lastig vallen met een vraag, maar we hopen dat u zo spoedig mogelijk antwoord kan geven! Het gaat namelijk om een verslag voor school

Annika en Floris
21-11-2003

Antwoord

dag Annika en Floris,

Ik vind het leuk dat jullie zo doorvragen en het precies willen begrijpen, dus geen verontschuldiging over lastigvallen en zo!
Vraag 1.
De - moet niet voor de b, maar erna.
Eigenlijk kun je beter de oorspronkelijke formule gebruiken:
c = b - f(b).(b-a)/(f(b)-f(a))
Je begint met a en b. Zorg ervoor dat f(a) en f(b) verschillend teken hebben, want het nulpunt moet tussen a en b liggen.
De bijbehorende punten op de grafiek van f zijn dan:
A(a, f(a)) en B(b, f(b))
Een van de twee ligt dan boven de x-as, en de ander ligt eronder.
Je berekent de lijn door A en B, en die snijd je met de x-as. Dat snijpunt is c. c is te berekenen met die formule.
Kun je dat narekenen? Bedenk dat de richtingscoëfficiënt van deze lijn gelijk is aan (f(b)-f(a))/(b-a)
Vervolgens schuiven de variabelen door, dat wil zeggen:
c komt in plaats van a of b.
Om te weten welke van de twee, moet je kijken of de twee functiewaarden weer tegengestelde tekens hebben.
Voorbeeld:
f(x) = x² - 3
Stap 1.
a = 1, b = 2
A(1, -2), B(2, 1)
De lijn door A en B is: y = 3x - 5
Deze snijdt de x-as in c = 5/3.
f(c) = -2/9
Stap 2.
a = 5/3, b = 2
c = 1.7273
f(c) = -0.0165
Stap 3.
a = 1.7273, b = 2

enzovoort.
Zie je dat de oplossing een benadering van Ö3 is?

Vraag 2.
Zie de uitleg hierboven. Het gaat om het opstellen van de vergelijking van de lijn door A en B. Als dat niet lukt na mijn aanwijzing, dan hoor ik het nog wel.

Vraag 3.
De secans-methode is eigenlijk dezelfde als regula falsi, alleen hoef je hier niet per se per stap te controleren of de functiewaarden tegengestelde tekens hebben.
Je neemt voor de nieuwe a de oude waarde van b, en voor de nieuwe b de berekende waarde van c. Daarmee bereken je de nieuwe c.
In de formule staat
in plaats van a: I_n-1
en in plaats van b: I_n
en in plaats van c: I_n+1
maar verder is het dus eigenlijk hetzelfde.
voorbeeld:
f(x) = x² - 3
Stap 1.
a = 1, b = 2
A(1, -2), B(2, 1)
De lijn door A en B is: y = 3x - 5
Deze snijdt de x-as in c = 5/3.
Stap 2.
a = 2, b = 5/3
c = 1.7273
f(c) = -0.0165
Stap 3.
a = 5/3, b = 1.7273
c = 1.7321
enzovoort.

De Methode van Newton werkt niet met twee punten a en b, maar neemt maar 1 punt, en berekent daarin de raaklijn.
Snap je dan waar die f' vandaan komt?
In feite kun je de secans methode nemen, en dan de twee punten a en b erg dicht bij elkaar nemen, zodat je (met de definitie van differentiaalquotiënt) op de formule van Newton uitkomt.
I_n+1 betekent: het (n+1)-ste getal
I_n-1 betekent: het (n-1)-ste getal
Snap je dan dat je niet kunt zeggen: dat
-I_n+1
gelijk is aan
-I_n-1?

Vraag 4.
Kijk eens op
numerieke methoden
misschien dat het dan duidelijker wordt.
succes met jullie verslag.

Anneke
22-11-2003