WisFaq!

Matrices

Hallo, wij moesten voor wiskunde van enige elliptische afbeeldingen de matrices opstellen, de vraag was of het mogelijk is bij zo'n matrix de assen en de bijbehorende vergrotingsfactor te vinden....ik kom er niet uit, een andere vraag was of het mogelijk is elke lineaire afbeelding te zien als een elliptische afbeelding toegepast na een draaiing en een spiegeling (weet u of het mogelijk is, zoja hoe dan??)

Bij voorbaat dank,
Raoul

Raoul
20-11-2003

Antwoord

De term elliptische afbeelding is voor mij nieuw, maar ik kan me voorstellen dat er een afbeelding mee bedoeld wordt, die van een cirkel een ellips maakt, ofwel: een lijnvermenigvuldiging met factor $\lambda$ t.o.v. een lijn k door de oorsprong.

Noem $\phi$ de hoek van k met de x-as
De matrix van zo'n lijnvermenigvuldiging kun je laten ontstaan uit een combinatie van:

D: een draaiing over een hoek -$\phi$
V: een lijnvermenigvuldiging met factor $\lambda$ t.o.v. de x-as
D^-1: de draaiing terug.

Je krijgt dan:

$
\begin{array}{l}
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{\cos \varphi } & { - \sin \varphi } \\
{\sin \varphi } & {\cos \varphi } \\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
\lambda & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
{\cos \varphi } & {\sin \varphi } \\
{ - \sin \varphi } & {\cos \varphi } \\
\end{array}} \right) = \\
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{\lambda \cos ^2 \varphi + \sin ^2 \varphi } & {\left( {\lambda - 1} \right)\sin \varphi \cos \varphi } \\
{\left( {\lambda - 1} \right)\sin \varphi \cos \varphi } & {\lambda \cos ^2 \varphi + \sin ^2 \varphi } \\
\end{array}} \right) \\
\end{array}
$

Als je matrix bekend is, dan moet je hiermee $\lambda$ en $\phi$ kunnen berekenen, zodat je daarmee de vergrotingsfactor hebt.
Bijvoorbeeld: als je matrix gelijk was aan:

dan kun je uitrekenen dat $\lambda$=2 en $\phi$=^$\pi$/₄.
Dan de vraag of je elke lineaire afbeelding kunt samenstellen uit een draaiing, een spiegeling en een elliptische afbeelding: als mijn interpretatie van 'elliptische afbeelding' juist is, dan is de lineare afbeelding die alles op de oorsprong afbeeldt, dus:

A

=

een tegenvoorbeeld hiervoor, maar nogmaals, dat weet ik niet zeker en ik kan het op internet ook niet terugvinden.

Anneke
21-11-2003