Sorry dat het even geduurd heeft. Maar nu heb je zelf ook de tijd gehad om er over na te denken en misschien heb je dan ook al een oplossing gevonden. Misschien wilde je leraar daarom niet meteen de oplossing geven. Hij doet alsof hij het niet weet zodat jij de kans krijgt te tonen dat je knapper bent dan hij.
Het is een heel mooi probleem. Japanners zijn dol op zulke plaatjes met rakende cirkels. Ze hebben zelfs een cirkel in hun vlag. Maar nu de oplossing. Die is heel eenvoudig. Je hebt alleen de stelling van Pythagoras nodig en een beetje eenvoudige algebra. Moet te doen zijn voor iemand van 13.
O, A, B zijn de middelpunten van de cirkels met stralen 3,2 en 1. C is het middelpunt van de kleine cirkel die aan de drie andere raakt. A, O en B liggen op een lijn en CD staat loodrecht op deze lijn.De straal c van deze cirkel moeten we bepalen.
Voor het gemak nemen we coördinaten.Zó dat O=(0,0); A=(-1,0);
B = (2,0); C = (x,y) en D = (x,0).
We gaan nu de stelling van Pythagoras toepassen op de rechthoekige driehoeken ODC, ADC en BDC. We kennen nl de schuine zijden van deze driehoeken: OC = 3-c; AC = 2+c en BC = 1+c. Dat geeft drie gelijkheden:
(1) x2 + y2 = (3 – c)2
(2) (x + 1)2 + y2 = (2 + c)2
(3) (2 – x)2 + y2 = (1 + c)2
Door (2) af te trekken van (1) krijg je met een beetje algebra:
x + 3 = 5c en door (3) van (1) af te trekken krijg je – x + 3 = 2c. Tel die laatste 2 bij elkaar op en je hebt de oplossing :
6 = 7c en dus de straal van het kleine cirkeltje is c = 6/7. Klaar.
Je kunt deze berekening ook doen met letters. Als de grote cirkel straal r heeft en die twee (om A en B) straal a en b (met a+b = r)
Dan is de straal van de kleine c = rab/(r2 – ab). Een goede oefening in algebra.
Met dank aan Jan Smit voor de volledige uitwerking!
Zie ook volgende link:
Archimedes' Arbelos-probleem
Zie Sangaku - wiskunde als kunst [http://www.arsetmathesis.nl/sangatekst.htm]
Els
15-12-2003