WisFaq!

Bewijs lineaire deelruimte

Hai ik zou graag wat hulp willen hebben bij de volgende vraag

Zij W={p(t)ÎPol(3) | p(0)=p'(1)=0}

1) Bewijs dat W een lineaire deelruimte van Pol(3) is.
2) Leid af dat W een vectorruimte is.

Heel veel liefs van mij

Angela
18-11-2003

Antwoord

Hoi,

Een algemene vorm voor elementen van van Pol(3), de verzameling van veeltermen met reële coëfficiënten van de derde graad, ook wel ₃[x] genoemd, is: p(t)=a.t³+b.t²+c.t+d, zodat p'(t)=3a.t²+2b.t+c.

De voorwaarden voor W vertalen zich naar d=0 en c=-3a-2b, zodat een algemene vorm eruit ziet als:
p(t)=a.t³+b.t²-(3a+2b).t

Om je vragen concreet te beantwoorden, moet je dus het gekende lijstje van eigenschappen overlopen...

Een voorbeeldje:

De optelling in W is inwendig en overal gedefinieerd:
p₁(t)=a₁.t³+b₁.t²-(3a₁+2b₁).t en p₂(t)=a₂.t³+b₂.t²-(3a₂+2b₂).t zijn twee elementen van W. We moeten bewijzen dat p₁(t)+₂ zinvol is en bovendien ook in W zit.
Welnu: p₁(t)+p₂(t)=
(a₁+a₂).t³+(b₁+b₂).t²-(3(a₁+a₂)+2(b₁+b₂)).t

Al deze coëfficiënten zijn berekenbaar, dus bestaat de som. Bovendien herkennen we de algemene vorm van W. De som is dus ook een element van W.

Op dezelfde manier bewijs je de andere eigenschappen voor een lineaire deelruimte en een vectorruimte.

Veel liefs terug,
Johan

andros
18-11-2003