WisFaq!

Bewijs dat in elke pythagoras driehoek minstens 1 zijde een vijfvoud is.

Kan iemand mij het bewijs geven dat voor elke pythagoras driehoek geldt dat minstens 1 zijde een vijfvoud is.

Henrike
18-11-2003

Antwoord

Hoi,

We hebben drie natuurlijke getallen a, b en c zodat a²+b²=c². We moeten bewijzen dat a, b of c een 5-voud is.

We bekijken a²+b²=c² modulo 5 en veronderstellen dat a, b en c verschillend zijn van 0. De enige mogelijke waarden van kwadraten modulo 5 zijn 1 en 4 en de enige combinaties die mogelijk zijn voor a²+b² zijn:
1+1=2: dit kan geen modulo van een kwadraat zijn
1+4=0: onmogelijk want we veronderstelden dat c verschillend van 0 was
4+4=3: dit kan ook geen modulo van een kwadraat zijn.

Besluit: onze veronderstelling dat a, b en c tesamen verschillend van 0 waren modulo 5 was fout, en dus moet minstens één van de getallen van een Pythagoreïsch tripel een 5-voud zijn.

Groetjes,
Johan

andros
18-11-2003