WisFaq!

Wat is de dimensie van...

,L3,+

[(x+2=1),(y+1=1),(0=1)]

ik versta niks van dimensies zoeken en zeker niet met lineair onbekenden! Heeft u soms een klein voorbeeldje doordat ik het zou begrijpen?

Vele groeten

Maxim
17-11-2003

Antwoord

Hoi,

Het antwoord op Voortbrengend deel van L2 kan je een stap vooruit helpen.

Je hebt het hier over L³. De algemene vorm is dus ax+by+cz+d=0 met a,b,c en d reëel.
De verzameling lineaire vormen D={x+2=1,y+1=1,0=1} is een deelverzameling van L³.
Met de definitie van 'optellen' in L³ kunnen we de voortgebrachte deelruimte van D bepalen:
span(D)=span({x+1=0,y=0,1=0})=span({x=0,y=0,1=0})

Zoals je op de aangehaalde link kan nakijken, vormt {x=0,y=0,1=0} een basis voor ,L²,+. De dimensie van de ruimte voortgebracht door D is dus 3.

Een andere aanpak bestaat erin om te onderzoeken of de vectoren in D lineair onafhankelijk zijn. Hiervoor moet je bewijzen dat a.(x+2=1)+b.(y+1=1)+c.(0=1)=(0=0) als enige oplossing heeft a=b=c=0. Welnu, als a.(x+2=1)+b.(y+1=1)+c.(0=1)=(0=0), dan is (a.x+b.y+(2a-a+b-b+c)=0)=(0=0) of (ax+by+(a+c)=0)=(0=0). Dit moet gelden voor alle waarden van x en y, dus moet a=b=c=0. Hieruit kan je afleiden dat dim(span(D))=3.

Groetjes,
Johan

andros
18-11-2003