WisFaq!

Het getal e en logaritmen

de Vgl x*e^(-x)+1=0 heeft in het open interval -1 to -0.5 juist een nulwaarde. Ik moet dit bewijzen. Ik weet dat het antwoord -0.5671432986 is maar hoe kan ik dit bewijzen?

Dank bij voorbaat.

Karin Doom
17-11-2003

Antwoord

De functie f(x) = 1 + xe^-x is continu.
f(-1) = 1 - e 0
f(-¹/₂) = 1 - ¹/₂e^(¹/₂)
Nu is e 2,8 zodat e^(¹/₂) 1,7 en dus: ¹/₂e^(¹/₂) 0,85
Gevolg:
f(-¹/₂) 1 - 0,85 = 0,15
Dus is er een a op [-1 ; -¹/₂] met f(a) = 0
Dit wat het eerste bewijs betreft.
Het tweede deel zou bijvoorbeeld kunnen met 'inklemmen'.
Bekijk opvolgend de functiewaarden voor:
x = -0,6 en x = -0,5
x = -0,56 en x = - 0,57
x = -0,567 en x = -0,568
...
Je vindt dan afwisselend negatieve en positieve functiewaarden die steeds dichter bij 0 komen te liggen.

dk
17-11-2003