WisFaq!

Positieve delers

Voor een opdracht moet ik alle gehele getallen bepalen tussen 0 en 200, die precies 10 positieve delers hebben.
Natuurlijk vallen hier alle priemgetallen weg.
Het is mij teveel werk om alle getallen na te gaan. Kan dit niet op een kortere manier?

Verder weet ik dat je een getal kan ontbinden in priemfactoren volgens mij heeft hier het aantal delers mee te maken.
Als voorbeeld: 126= 2·3²·7 en deze heeft 12 positieve delers.

Wie kan mij helpen??
Alvast bedankt!

Heidi
16-11-2003

Antwoord

Kijk eerst eens naar deze vraag over hoe je het aantal positieve delers kan bepalen als je de priemontbinding al hebt gevonden.

In jouw geval moet dus gelden dat

10 = (1+q₁)...(1+q_n)

1) We kunnen 10 opsplitsen als 2·5.

1+q₁ = 2 $\to$ q₁ = 1
1+q₂ = 5 $\to$ q₂ = 4

of omgekeerd maar dat is enkel een kwestie van afspraak. De gevraagde getallen zijn dus allemaal van de vorm (een priemgetal)·(een ander priemgetal)⁴.

Je begint nu best bij dat 'andere' priemgetal, omdat de vierdemacht daarvan lekker stijgt zodat je snel aan je bovengrens van 200 zal zitten.

5⁴ = 625 $>$ 200 $\to$ geen oplossingen

3⁴ = 81 $<$ 200
81.2 = 162 $<$ 200
81.5 = 405 $>$ 200

2⁴ = 16 $<$ 200
16.3 = 48 $<$ 200
16.5 = 80 $<$ 200
16.7 = 112 $<$ 200
16.11 = 176 $<$ 200
16.13 = 208 $>$ 200

2) We kunnen 10 ook opsplitsen als 1·10. In dat geval is er maar een q en is die gelijk aan 9. Maar aangezien de negende macht van het kleinste priemgetal al 512 bedraagt, levert dit geen oplossingen.

De gevraagde getallen zijn dus 48, 80, 112, 162 en 176.

cl
16-11-2003