WisFaq!

Twee deelruimtes samen ook weer een deelruimte?

Hallo WisFaq! Bedankt voor alle hulp die jullie mij in het verleden al hebben gegeven. Bij deze een vraag waar ik niet uitkom over vectorruimtes.

De vraag gaat als volgt:
Laat W1 en W2 deelruimtes zijn van de vectorruimte V
a) Bewijs dat W1 + W2 een deelruimte is in V met als inhoud zowel W1 als W2.
b) Bewijs dat elke deelruimte van V met daarin zowel W1 als W2 ook W1 + W2 moet bevatten.

Uit het boek (Linear Algebra van Friedberg, Insel en Spence) heb ik het volgende Theorem gehaald om mij daarbij te helpen:

"Laat V een vectorruimte zijn en W een subset van V. Dan is W een deelruimte van V dan en alleen dan als aan de volgende drie voorwaarden wordt voldaan:
1) 0 Î W
2) x + y Î W
3) cx Î W"

Ik heb echter geen flauw benul hoe ik deze voorwaarden (en dan vooral de 2^e en 3^e) in de praktijk kan gebruiken op de vraag.

Zou iemand mij hierbij kunnen helpen?

Bedankt!

Stephan

Stephan
16-11-2003

Antwoord

Eerst maar even duidelijk krijgen wat met W1 + W2 bedoeld wordt. Ik neem aan dat het gaat om de verzameling
{a+b | aÎW1 Ù bÎW2}
Voor het overzicht noem ik W1 + W2 maar even U.
Gezien de definitie van deelruimte, en het feit dat W1 en W2 beide deelruimte van V zijn, geldt dus dat het nulelement zowel in W1 als in W2 zit, 0+0 zit in U, waarmee aan de eerste eis voldaan is.
Nu de tweede eis.
Als x = a₁ + b₁
en y = a₂ + b₂
met a₁, a₂ Î W1
en b₁, b₂ Î W2
dan moet je dus aantonen, dat x+y Î U,
dus dat je x+y kunt schrijven als som van twee elementen, waarvan de ene uit W1 komt, en de ander uit W2.
Lukt dat?
De laatste eis zal nu hopelijk geen probleem meer zijn. succes.

Anneke
17-11-2003