WisFaq!

Derdegraadsvergelijking

Voor een PO moeten wij derdegraadsvergelijkingenoplossen. Er is alleen een som waar wij niet uitkomen. Daarbij moeten we bewijzen dat x³+ax²+bx+c te ontbinden is in (x-s)(x²+px+q) waarbij xs een reele oplossing is van x³+ax²+bx+c=0 en dat p=s+a en q=s²+as+b. Kunnen jullie ons helpen.

PH
21-2-2002

Antwoord

Je moet hiervoor f(x)=x³+ax²+bx+c delen door x-s.
Delen is eigenlijk een kwestie van herhaald aftrekken, dus we gaan kijken hoevaak we x-s kunnen aftrekken van x³+ax²+bx+c.

Als je kijkt naar de hoogste macht van x, zie je dat x-s dus x² keer kan.
x²·(x-s)=x³-sx rest (s+a)x²+bx+c.
(s+a)x·(x-s)=(s+a)x²-s(s+a)x rest (s²+as+b)x+c.
(s²+as+b)·(x-s)=(s²+as+b)x-s((s²+as+b) rest s³+as²+bs+c.

Deze laatste rest is nul. Dat komt omdat je deelde door (x-s), dus je weet dat x=s een nulpunt is van
f(x)=x³+ax²+bx+c, met andere woorden: f(s)=0.

Conclusie: (x³+ax²+bx+c) / (x-s) = x²+(s+a)x+(s²+as+b).

Om deze deling uit te kunnen voeren bij een concreet voorbeeld moet je dus wel zorgen dat je één nulpunt van f(x) al kent.
Succes!

jr
22-2-2002