WisFaq!

Voortbrengend deel van L2

-- ,L2,+ (L2=lineair met 2 onbekenden)
D = [(x=0),(y=0),(0=1)]

Is dit een voortbrengend deel? Is er nog iets meer van te zeggen? En wat is die L2 precies? Weet je daar soms nog een ander voorbeeld van?

-- Hoe kan je de dimensie vinden bijvoorbeeld van ,L3,+ ?

-- [(x+y=1(; (2x-y=2); (x+2y=-1); (-x-3y=2)] Ì ,L2,+

- Is dit een vrij deel?
- Is dit voortbrengend?

Je moet zo weinig mogelijk veranderen dat het een basis wordt.


Alvast bedankt!

Hans
12-11-2003

Antwoord

Hoi,

L² is de verzameling van vergelijkingen in 2 onbekenden met reële coëfficiënten. Een algemene vorm is bijvoobeeld ax+by+c=0 met a,b en c reëel (Die x en y kunnen ook reële getallen zijn, maar evengoed matrices of andere scaleerbare en optelbare objecten. Laten we het hier op reële x en y houden).
Op dezelfde manier kan je een algemene vorm voor L³ bedenken: ax+by+cz+d=0.

We nemen 2 vormen uit L²: ax+by+c=0 en a'x+b'y+c'=0. Je kan die combineren volgens de volgende 'definitie': m.(ax+by+c=0)+n.(a'x+b'y+c'=0)=(ma+na')x+(mb+nb')y+(mc+nc')=0 en het resultaat is weer een vorm van L². Je gaat na dat alle eigenschappen voor een vectorruimte voldaan zijn, zodat we terecht van ,L²,+ spreken.

Een opmerking: sommige vormen ax+by+c=0 stellen lineaire vergelijkingen voor die geen oplossing hebben voor x en y in , bijvoorbeeld c=0 voor c¹0. Maar dit bederft de pret niet. Het zijn evengoed vormen van L².

Met bovenstaande definitie van optellen kunnen we elke vorm ax+by+c=0 schrijven als a.(x=0)+b(y=0)+c(1=0). Dit betekent dat D={x=0,y=0,1=0} inderdaad een basis is voor L².

Op dezelfde manier kan je een basis vinden voor L³: {x=0,y=0,z=0,1=0}. Uit de algemene vorm kon je ook zien dat er 4 vrijheidsgraden zijn. In ieder geval is dim(L³ )=4.

Verder had je het ook over E={x+y=1,2x-y=2,x+2y=-1,-x-3y=2}. We hebben 4 vectoren in een 3D ruimte. Ze moeten dus lineair afhankelijk zijn of anders gezegd: 'geen vrij deel vormen'. De eerste twee vormen brengen onder andere volgende vormen voort: 1/3.(x+y=1)+1/3.(2x-y=2)=(1.x+0.y=1)=(x-1=0) en 2/3.(x+y=1)-1/3.(2x-y=2)=(0.x+1.y=0)=(y=0) (dit lijkt een beetje op stelsels oplossen en misschien is het dat ook ). Hiermee komen we aan 1.(x-1=0)+2.(y=0)=(x+2y-1=0), zodat we ook 1/2.(x+2y+1=0)-1/2(x+2y-1=0)=(1=0) kunnen construeren en dus ook 1.(x-1=0)+1.(1=0)=(x=0). We hebben in elk geval al 3 onafhankelijke basisvectoren: {x=0,y=0,1=0} en hiervoor hadden we de 3 eerste elementen van E nodig. E is dus voortbrengend en de vierde vector van E kunnen we construeren: -1.(x=0)-3.(y=0)-2.(1=0). Samengevat: E is niet vrij omdat de 4de vector een combinatie is van de 3 voorgaande. De 3 eerste vectoren zijn wel onafhankelijk en omdat L² dimensie 3 heeft, vormen de eerste 3 vectoren van E een basis voor L².

Groetjes,
Johan

andros
18-11-2003