WisFaq!

Extremen van een functie

Ik kom er niet helemaal uit:
f(x)=Ö(2x²+1)/3x-5
Nu moet ik de max. en min. berekenen en de buigpunten schatten m.b.v.de grafische rekenmachine.
f'(x)=-10x-3/Ö(2x²+1)(3x-5)²
Stel f'(x)=0 geeft x=-3/10 en x mag geen 5/3 zijn.
Toen heb ik gekeken naar tekenwisselingen, en dat geeft alleen tekenwis bij 5/3 van negatief naar positief.
Maar hier kan toch geen min. zijn??? Wel een vert.asympt.
Hoe zit dat nou?
En hoe pak ik dat aan om die buigpunten te schatten, ik zie ze niet eens op de grafiek als ik de grafiek plot.
Maandag heb ik tentamen, wie wil me helpen?

charlotte
11-11-2003

Antwoord

Even voor de goede orde:
Ik neem aan dat je f(x)=Ö(2x²+1)/(3x-5) bedoelt. (haakjes).

Je hebt gevonden dat f'x)=0 als x=-3/10 en f'(x) mag geen 5/3 zijn. Dit is correct. En de afgeleide is ook goed!
Je schrijft dat je hebt gezocht naar tekenwisselingen.
Waarvan????? Van f(x) of van f'(x)?
Als je op zoek bent naar uiterste waarden moet je kijken naar tekenwisselingen van f' en niet naar die van f. Dat is namelijk een veel voorkomende fout.
Het blijkt dat f' van teken wisselt voor x=-3/10.
Er is dus een maximum voor x=-3/10. De y-waarde van dit maximum is -Ö(118)/59.

2)
Het buigpuntenprobleem.
Als je nog even naar het functievoorschrift kijkt kun je nagaan dat de grafiek van f horizontale asymptoten zou moeten hebben: teller is de wortel uit een kwadratische functie en de noemer is lineair. Ook als je in de grafiek kijkt zou je dat vermoeden kunnen krijgen.
Nu is er bij x=-3/10 een top. Er moet dus links van x=-3/10 een buigpunt zitten! Als je gebruik maakt van het standaardvenster ligt de grafiek heel dicht tegen de x-as. Je moet dus nu het venster bijstellen zo dat de grafiek verticaal uitvergroot wordt! Dan zie je wel een buigpunt.
Dan nog is het lastig nauwkeurig het buigpunt te schatten, omdatde grafiek nogal flauw loopt.
Daar is een slimme truc op:
Je weet dat buigpunten horen bij punten waar de hellingsfunctie een maximum of een minimum heeft.
Je kunt dus de hellingsfunctie plotten en uitzoeken waar die een top of een dal heeft. Dat kan je op een grafische rekenmachine mooi laten berekenen en dan weet je een benadering van de x-waarde van het (de) buigpunt(en)

hk
11-11-2003