WisFaq!

Vermenigvuldigen/delen van gemiddeldes met standaarddeviatie

Hoi,

Als ik een onderzoek heb gedaan en 2 gemiddeldes eruit krijg met allebei een standaarddeviatie en vervolgens beide gemiddeldes met elkaar vermenigvuldig of op elkaar deel, wat wordt dan de nieuwe standaarddeviatie?

Voorbeeld:

gem(x)=30±5 en gem(y)=40±3

vanwege de aard van het onderzoek dus gem(x)´gem(y)
ik meen mij te herinneren dat de nieuwe waarde 30´40 ±Ö(5²+3²) . Klopt dit?
als nu interessant is om gem(x)¸gem(y) te berekenen, wat wordt dan de nieuwe standaardafwijking?
en de belangrijkste vraag voor mij als ik nu 1/gem(x) ga berekenen, welke standaarddeviatie hoort hier dan bij?

Dan zag ik nog als antwoord op een andere vraag hier dat wanneer je twee gemiddeldes optelt of aftrekt dat dan de nieuwe standaarddeviatie de waarde wordt zoals hierboven beschreven bij vermenigvuldigen.... wat is nu waar?

Alvast bedankt!

Robbert Spaapen
10-11-2003

Antwoord

In wat volgt is het cruciaal dat de toevalsgrootheden X en Y onafhankelijk zijn. Met E de verwachtingsoperator vind je voor Z = XY

E[Z ]=E[X ]E[Y]
E[Z ]=E[X²]E[Y²]

Voor het gemiddelde en variantie geldt dan

gem(Z)
= E[Z ]
= E[X ]E[Y]

var(Z)
= E[Z²]-E[Z ]²
= E[X²]E[Y²] - E[X ]²E[Y]²
= (var(X)+gem(X)²)(var(Y)+gem(Y)²) - gem(X)²gem(Y)²

Dat laatste kan je nog uitwerken maar dat hoeft niet. Voor de duidelijkheid nog even vermelden dat de variantie het kwadraat is van de standaardafwijking.

Merk ook op dat zulke verbanden eigenlijk heel knap zijn. Een gemiddelde is slechts een karakteristiek voor een volledige distributie en toch lijkt het mogelijk de karakteristiek van een eindresultaat (hier het produkt) te bepalen op basis van de karakteristieken van de samenstellende distributies (X en Y), zonder verdere kennis van de distributie van X en Y.

Het is dan ook geen volledig succesverhaal. Je kan het gemiddelde van een quotient niet bepalen puur afgaand op het gemiddelde van teller en noemer. Je hebt er de volledige distributie voor nodig.

Wat jij schreef is dus fout. Bovenstaande formule voor var(Z) laat zien dat die niet alleen afhankelijk is van var(X) en var(Y) maar ook van de gemiddelde waarden gem(X) en gem(Y).

cl
11-11-2003