WisFaq!

Optimaliseren

Twee fietsers A en B rijden ieder met een constante snelheid, vA= 25 km/h en vB= 18 km/h. Op t=0 bevindt B zich 15 km ten noorden en 10 km ten oosten van A. Fietser A rijdt precies naar het noordoosten. B rijdt precies in westelijke richting.

• Bereken de kleinste afstand A en B en het tijdstip waarop dit gebeurt.

Ik heb vaker dit soort optimaliseervraagstukken opgelost, onder andere het bekende conservenblik van 1 liter, waarbij er berekend moest worden wat de minimale benodigde oppervlakte blik zou zijn. Dit is niet moeilijk te realiseren door de oppervlakte blik en de inhoud van dat blik met elkaar in een formule te verwerken, en aan de hand van differentieren de inhoud bij een minima te vinden. Echter uit deze kom ik niet.

Hoe moet ik dit aanpakken?

godfried
3-11-2003

Antwoord

Leg de oorsprong van een assenstelsel in de beginpositie van A. Noteer de positie van A door het koppel (XA(t),YA(t)) en die van B door het koppel (XB(t),YB(t)). Er geldt dan dat

XA(t) = 0 + [cos(45°)·VA]·t
YA(t) = 0 + [sin(45°)·VA]·t

XB(t) = 10 + [cos(180°)·VB]·t
YB(t) = 15 + [sin(180°).VB]·t

Vereenvoudig bovenstaande uitdrukkingen en minimaliseer vervolgens het kwadraat van de afstand in functie van t, dus de uitdrukking

[afstand A-B]² = (XA(t)-XB(t))² + (YA(t)-YB(t))²

Als je het ogenblik van minimale afstand hebt bepaald, is die afstand zelf vinden natuurlijk nog maar een kleintje. Lukt het zo?

cl
3-11-2003