WisFaq!

Touw vastgebonden aan twee uiteinden

Een touw van 10 meter is aan de uiteinden vastgemaakt aan (de hoogste punt van) twee gelijke palen, die 4 meter uit elkaar staan. Wat is het hoogste tot aan het laatste punt van het touw? M.a.w.: wat is de verticale lengte van het touw wanneer deze aan de palen is omgehangen?

Een vergelijking die bijna voldoet aan de eisen is bijvoorbeeld: f(x)=(x-2)(x+2).
Hierbij gaan we vanuit dat de y-as onze symmetrielijn is, het dieptepunt dus op x=0 bevindt (f'(0)=0) en (-2,0) en (2,0) punten zijn van f(x), waardoor we op f(x)=(x-2)(x+2) als we uitgingen van f(x)= ax²+bx+c, met a, b en c nog nader te bepalen.
De booglengte is gedefinieerd als $\int{}$√(1+f'(x)²)dx en dit levert voor deze functie iets van 9.2 op en dus niet de vereiste 10.

Voor hogere graads functie valt de integraal zo goed als niet meer te berekenen (als we uitgaan van bv. y=ax⁴+bx³+cx²+dx+e, dit levert overigens zeker b=d=0), dus zoeken we een andere manier om het antwoord te berekenen.
Tot op heden is het ons niet gelukt.

Weet u een oplossing of kunt u tips geven om ons verder te helpen hiermee? Het is wiskundig volgens ons niet zo makkelijk om het eindantwoord te vinden

Bedankt!

Johan
3-11-2003

Antwoord

Als ik van die parabool y=(x-2)(x+2) de lengte van het stuk van de grafiek bereken tussen x=-2 en x=2 vind ik ongeveer 9,29.
Als je deze kettinglijn met een parabool zou willen benaderen zou je een parabool van de vorm y=a(x-2)(x+2) kunnen nemen.
Dit is dus y=ax²+een getal.
Dit getal is voor de lengte van de grafiek onbelangrijk. Dus ga ik uit van y=a.x²
Je kunt nu de booglengte uitdrukken in a door de volgende integraal uit te rekenen:
_-2$\int{}$²√(1+4a²x²)dx.
Je moet dan een primitieve hebben van √(1+4a²x²)

Deze is met een beetje goede wil nog wel te vinden:
Door terugdifferentieren kun je nagaan dat
ln(√(4a²x²+1)+2ax)/(4a)+x√(4a²x²+1)/2 een juiste primitieve is.
Door de grenzen -2 en 2 in te vullen krijg je de booglengte uitgedrukt in a.
Dit antwoord kun je gelijk stellen aan 10. De vergelijking die je dan krijgt is niet exact oplosbaar.
Je kunt een benadering van a dan vinden met je Grafische Rekenmachine (ik heb gevonden a=1,09744.)

Veeltermfuncties met 4e machten erin leveren voor de booglengte integralen op, waarvan de primitieve niet meer is te vinden.

Een parabool is maar een benadering van de kettinglijn.
Theoretisch kun je afleiden dat de kettinglijn als formule heeft:
g(x)=(e^px+e^-px)/(2p)
Deze functie wordt ook wel geschreven als g(x)=cosh(px)/p.
(cosh spreek je uit als cosinushyperbolicus).
Hieronder volgen nu een paar opdrachten om je te helpen de waarde van p te vinden waarvoor geldt dat _-2$\int{}$²√(1+(g'(x)²)dx gelijk is aan 10.
a)Toon aan: 1+(g'(x))²=¹/₄(e^px+e^-px)²
(Mocht je hier niet uitkomen stel dan gerust nog een vraag!)
b)Laat zien dat hieruit volgt √(1+(g'(x))²)=¹/₂(e^px+e^-px)
Deze functie is goed primitiveerbaar.
c)Druk de booglengte uit in p
d)Benader de waarde van p waarvoor deze booglengte gelijk is aan 10 met behulp van je grafische rekenmachine.

Interessante bijkomstigheid: Er is een duidelijk verband tussen de booglengte van het deel van de grafiek tussen de punten (0,g(0)) en (a,g(a)) enerzijds en de helling van de grafiek van g in het punt (a,g(a)). Welk?
Zou dit te maken kunnen hebben met de natuurkundige eigenschappen van de kettinglijn?

hk
3-11-2003