WisFaq!

Bewijzen rond matrices

Hallo,

Ik heb een heeeeeeeeeeeeleboel vragen:

Bewijs of weerleg met een tegenvoorbeeld de volgende beweringen:

1) Zij A$\in$Mn($\mathbf{R}$) een symmetrische matrix
(d.w.z. At=A). Als A inverteerbaar is,
is A-1 ook symmetrisch.

2) Zij A en B$\in$Mn($\mathbf{R}$) symmetrische matrices. Dan is AB een symmetrische matrix.

3) Zij $\lambda$ een eigenwaarde van A$\in$Mn($\mathbf{R}$) en $\mu$ een eigenwaarde van B$\in$Mn($\mathbf{R}$).
Dan is $\lambda$+$\mu$ een eigenwaarde van A+B.

4) Zij x, y$\in$$\mathbf{R}$n en A$\in$Mn($\mathbf{R}$)
Dan xtAy = ytAtx.

5) Zij A$\in$M2($\mathbf{R}$) met A² = I. Dan is A een van de volgende matrices

I2,

-I2,

1 0
0 -1,

-1 0
0 1 of

0 1
1 0

Geen idee hoe dit allemaal moet!

Ilse
2-11-2003

Antwoord

1. Stel A·A^-1=I dan (A·A^-1)^t=I dus (A^-1)^t·A^t=I
dus (A^-1)^t·A=I (want A symmetrisch)
dus (A^-1)^t = A^-1

2. (A·B)^t=B^t·A^t=B·A en dus niet A·B. Hier moet je dus een tegenvoorbeeld kunnen vinden

3. Neem bijvoorbeeld eens

A=

|	-2	0	|
|	0	-1	|

B=

|	3	2	|
|	3	3	|

en kijk maar eens of het in dit geval klopt.

De rest zelf even proberen.

Met vriendelijke groet

JaDeX

jadex
2-11-2003