WisFaq!

12 blokjes, met 4 verschillende kleuren. Hoeveel mogelijkheden?

Ik had een vrij dringende vraag over het gebruik van faculteit, permutaties en combinaties.
In een vraagstuk staat het volgende, maar ik kom er niet helemaal uit:

"Bouw een toren van 12 blokken hoog. Gebruik hierbij 5 rode, 4 blauwe, 2 witte en 1 geel blok. Hoeveel mogelijkheden heb je?"

Ik dacht dat het hier om een permutatie ging, aangezien de volgorde er wel iets toe doet. Oftewel de permutatie van 12 boven 5 + 12 boven 4 + 12 boven 2 + 12 boven 1. Nu is mijn vraag of het klopt als ik dan op een antwoord van 107.064 uitkom. Mijn wiskunde-leraar is namelijk al een tijdje ziek en heb deze week proefwerk, en zou dit toch graag voldoende willen maken. Het antwoordenboek vermeld een uitkomst van 83.160.

R. Brouns
30-10-2003

Antwoord

Stel dat de blokken allemaal verschillende kleuren hadden. Dan waren er 12! mogelijkheden. Ga nu terug naar het originele probleem. Het door mekaar gooien van blokken van dezelfde kleur zal in dat geval GEEN nieuwe toren opleveren. Je moet 12! dus delen door het aantal manieren waarop blokken van dezelfde kleur ongemerkt van plaats kunnen verwisselen. En dat zijn er 5!4!2!1!

Totaal aantal mogelijkheden is dus:
12!/[5!4!2!1!] = 83160

Een andere manier is de volgende: neem de rode blokjes en kies 5 plaatsen uit 12 om ze te zetten. Dat kan op (12 5) manieren. Voor de 4 blauwe blijven dan nog 7 posities over die op (7 4) manieren kunnen worden ingevuld. Zo ook (3 2) manieren voor de witte blokken. Het gele blok moet dan wel op de enige overblijvende lege plaats komen [(1 1) manieren]

Totaal aantal mogelijkheden:
12!/[7!5!] . 7!/[4!3!] . 3!/[2!1!] . 1!/[1!0!] = 83160

cl
30-10-2003