WisFaq!

Voorwaardelijke kansen en testuitslagen

Onderstaand probleem kreeg ik om op te lossen.

Een medische test op TBC geeft bij 99% van de TBC-lijders een positieve uitslag. Bij 99% van de gezonde mensen is de uitslag negatief. Verder is 0,1% van de bevolking besmet met HIV en van hen ontwikkelt 10% TBC. Wie niet met HIV besmet is, loopt een kans van 0,1% op TBC. Als een testuitslag wijst op TBC, hoe groot is dan de kans dat de patient besmet is met HIV?

Nu heb ik de volgende stochasten:
A: Persoon is gezond
B: Persoon heeft TBC
C: Persoon heeft HIV
Verder is er de gebeurtenis:
T: Testuitslag wijst op TBC.

Nu kan ik de volgende kansen berekenen:
P(C) = 0.001
P(B|C) = 0.1
P(B|C') = 0.001
P(T|B) = 0.99
P(T'|A) = 0.99

Volgens mij is nu gevraagd P(C|T)

Bayes geeft dan:
P(C|T)
= ^P(T|C)P(C)/_{P(T|C)P(C)+P(T|C')P(C')}
Om P(T|C) uit te rekenen bedacht ik dat als je weet dat iemand HIV heeft, dus niet gezond is. Dus die kans is dan gelijk aan P(T|A'). Maar dan kom ik niet verder.
Daarna bedacht ik me dat de kans op een positieve testuitslag afhangt van TBC besmetting. En die wordt weer beinvloed door de HIV besmetting. Met de totale kans kreeg ik P(T|C) = P(T|C|B)P(B) + P(T|C|B')P(B'), maar weet ik verder ook weinig raad mee.

Ik vind deze opgave erg lastig, een weet eigenlijk niet goed hoe ik moet beginnen. Bij alle ideeen loopt ik vast.

Gertjan
30-10-2003

Antwoord

Het heeft even geduurd maar we er samen toch uitgekomen. Zelf gebruik ik in dit soort gevallen graag een tabel (ook een soort hobby). Laten we maar eens uitgaan van 1.000.000 patienten. Dat is wel een beetje veel, maar dat geeft een goed overzicht en maakt het probleem hopelijk inzichtelijker:



In de tabel ga je dus uit van 1.000.000 patienten en deze verdeel ik vervolgens over de vakjes zoals hierboven staat aangegeven. Uiteindelijk kom je uit de volgende aantallen postitief geteste patienten (1088 en 9989). Daarnaast zie je onderaan de tabel de aantalllen patienten met hiv staan.

P(hiv | positieve TBC-test)= 108/11077 = 0,0097

Hopelijk is het duidelijk, anders horen we het wel weer.

WvR
3-11-2003