WisFaq!

Berekenen van limieten

Hallo,
Ik heb hier vier opgaves, en hoe ik ook probeer op een of andere manier kom ik er niet helemaal uit. Zijn misschien kleine dingetjes die ik fout doe, maar welke?

In het boek staan alleen maar antwoorden weergegeven en de leraar legt ze niet echt goed uit.

Hopelijk kan iemand van jullie mij helpen.

a:                x - 2
   lim         -----------
   x$\to$2     x2 - x - 2

Ik heb:        ( x - 2 )
        = ---------------------
          ( x - 2 ) · ( x + 1 )

        = x + 1    
        = 2 + 1 = 3

Volgens het boek moet 1/3 uitkomen?

b:                           2x
   lim      --------------------------------------
   x$\to$0  √( 5 + x ) - √ ( 5 - x )

Ik heb:   2x · ( √( 5 + x ) + √ ( 5 - x ) )
        = -------------------------------------------------
          √( 5 + x ) + √ ( 5 - x ) · √ ( 5 + x ) + √ ( 5 - x )

          2x · ( √( 5 + x ) + √ ( 5 - x ) )
        = -----------------------------------------------
                         ( 5 + x ) - ( 5 - x )

          2x · ( √( 5 + x ) + √ ( 5 - x ) )
        = ------------------------------------------------
                                   2x

          2x · √5
        = --------------
                2

Maar volgens het boek moet er uit komen = 2√5 ?

c:               sin2 x
     lim       ---------
     x$\to$0   x2 cos x

Volgens mij heb ik hem wel uit, maar of die klopt?

        sin      sin
      = ---  -  -----
         x      cos x

                x
      = 1 · tan -
                x

      = 1 · 1 = 1

d:             x2 + 4x - 5
   lim         ------------
   x$\to\infty$    5x2 - 1

       ( x + 5 ) · ( x - 1 )
     = ----------------------
       ( 5x + 1 ) · ( x - 1 )

        x + 5
     = -------
       5x + 1

     = 5

maar het boek zegt 1/5
heb ik nou wat verkeerd omgedraaid ofzo? hmm.. :(

Tries
30-10-2003

Antwoord

a) Na schrapping staat er 1/(x+1) en dat gaat toch naar ¹/₃ als x naar 2 gaat?

b) (2x/2x)(√(5+x)+√(5-x)) is goed. De 2x kan je schrappen en als x naar nul gaat worden de wortels √5+√5 = 2√5

c) sin(x)/x voor x naar 0 is een standaardlimiet die je misschien al gezien hebt. De waarde is 1. Het kwadraat gaat dus ook naar 1. cos(x) gaat ook naar 1 dus het eindresultaat is 1. Wat jij doet lijkt me verschrikkelijk fout te zijn.

d) Deel in de opgave teller en noemer door x², dan komt er

(1 + iets dat naar 0 gaat - iets dat naar 0 gaat)/(5 - iets dat naar nul gaat) $\to$ 1/5

Je kan ook na schrapping van (x-1) teller en noemer delen door x, dat is hetzelfde.

Ben je niet vergeten dat het hier over de limiet naar oneindig gaat?

cl
30-10-2003