WisFaq!

Opgave inverse functies

De volgende opgaven heb ik niet zo goed begrepen:

1)
Bewijs dat de functie f(x)=Ö(4-x²) met 0x2 gelijk is aan haar inverse functie
Geldt dit ook voor f(x)=Ö(4-x²) met -2x0 ? Verklaar ook grafisch.

Het eerste deel van de vraag heb ik begrepen (ook niet zo moeilijk) maar het tweede gedeelte weet ik niet goed hoe je dat moet aantonen dat ze verschillend zijn?

2)
Bewijs de inverse functie van f(x)=Ö(ax+b) met a¹0. Bewijs dat de grafiek altijd een halve parabool is.
Hoe kan je uit de inverse opmaken dat dat een halve parabool is??

3)
Onderzoek aan de hand van de grafiek of de volgende functies omkeerbaar zijn.
hoe kan je zien of f1(x)=lxl en f2(x)=-x omkeerbaar of onomkeerbaar is?
( f2 zou omkeerbaar zijn en f1 niet??)


4)
Hoe kan je uit de volgende functie de snijpunten met de x/y-as afleiden?
f(x)=Öx +2

5)
opgave: f(x)=x² -1
Bij het berekenen van de inverse staat er bij de oplossing dat x € van R+ Waarom niet gewoon van R??

Anne
28-10-2003

Antwoord

1) Wat is de inverse? Ik vermoed dat je weet hoe je de inverse moet bepalen.
Toch even vlug:
We zoeken al die y-waarden waarvoor er een x bestaat zodat
y=Ö(4-x²)
Û y²=4-x² EN y0
Û x²+y²=4 EN y0 (**)
Û x²=4-y² EN y0
Û x=+/- Ö(4-y²) EN y0
Maar 0x2 dus: x=+Ö(4-y²) EN y0
Ö(4-y²) moet gedefinieerd zijn dus y2
= Bereik of waardeverzameling is [0,2].

Als 0x2: x=f^-1(y)=Ö(4-y²)
Als -2x0: x=f^-1(y)= -Ö(4-y²)
Let op het minteken.

Als je echter naar de uitdrukking met (**) kijkt dan staat daar x²+y²=4. Van welke grafiek is dit het voorschrift?
En welk deel van deze grafiek correspondeert met f(x)=Ö(4-x²) met 0x2?
En welk deel krijg je als je x beperkt tot -2x0?
Als je bovendien weet hoe je de grafiek bepaalt van een inverse functie als de grafiek van de functie gegeven is, dan ken je het antwoord op je eerste vraag.

(2) Wat is de berekening van je inverse?
Je krijgt daar ergens iets van de vorm y²=ax+b met nog een voorwaarde (Welke?). Van welke figuur is y²=ax+b het voorschrift en welke beperking legt je voorwaarde op aan je grafiek?
Het antwoord op deze vragen geeft je onmiddellijk de oplossing. Als je nog een stap niet weet, schrijf dan op wat je wel weet en waar het probleem juist zit.

(3) een functie is omkeerbaar als zijn inverse bestaat maw als er een één-één verband is tussen waarden voor x en waarden voor y. Teken de grafieken van deze functies.
De grafiek van de inverse (als ze bestaat) is de grafiek die je krijgt door te spiegelen om de eerste bissectrice met als vergelijking y=x. Is dit opnieuw de grafiek van een functie dan is je functie omkeerbaar. Hoe zie je dat een grafiek de grafiek is van een functie? of wat is de definitie van functie?

(4) snijpunten met X-as: stel y gelijk aan nul en los op naar x,
snijpunten met Y-as: stel x gelijk aan nul en los op naar y.

(5) Als je de inverse berekent dan is x=+/-Ö(y+1)
Dus je hebt de mogelijkheid van een positieve waarde voor x en een negatieve. Hoeveel beelden mag x hebben opdat je een functie hebt? Mag je die twee oplossingen dan behouden of moet je er eentje laten vallen?

Aan de hand van deze hints zou je een antwoord kunnen vinden op al je vragen. Heb je nog ergens een probleem dan hoor ik het wel. Maar tracht wel zoveel mogelijk zelf reeds te noteren en je probleem duidelijk te omschrijven.

Mvg,

Els
28-10-2003