WisFaq!

Bewijzen dat een gegeven polynoom irreducibel is

gegeven de polynoom:

x³-3x-3...

Hoe kan ik bewijzen dat deze irreducibel is?

Ik weet dat er een theorem bestaat hierover van
Schonemann - Eisenstein, maar die kan ik nergens vinden.

mark roelands
27-10-2003

Antwoord

Wanneer je wil aantonen dat een polynoom reducibel of irreducibel is, dan moet je het getallenveld of de ring vermelden waarin je werkt.

vb. x³-3x-3=0
Over heeft een derdegraads veelter altijd 3 oplossingen waarvan er ofwel 1 een reële oplossing is, ofwel alle drie.
Het polynoom x³-3x-3 heeft over één reële en twee complex toegevoegde wortels.
Over heb je dus één wortel of nulpunt nl 6+2*5^(1/2)+2*(12+4*5^(1/2))^(1/3)

Maar ik vermoed dat je oplossingen zoekt over de rationale getallen of maw je wil bewijzen dat x³-3x-3 irreducibel is over het veld [ x].
Dan heb je inderdaad de stelling van Eisenstein die zegt dat je veelterm irreducibel is in de ring [ x] als er een priemgetal bestaat dat alle coëfficiënten deelt behalve de hoogstegraadscoëfficiënt.
In je voorbeeld x³-3x-3 is p=3.

Zie ook
http://mathworld.wolfram.com/EisensteinsIrreducibilityCriterion.html
http://mathworld.wolfram.com/IrreduciblePolynomial.html

Mvg,

Els
27-10-2003