WisFaq!

Commutatieve groep en commutatieve ring

Hallo,

ik had graag geweten wat een commutatieve groep en een commutatieve ring is.

Dirk
26-10-2003

Antwoord

Een groep G,# met G de verzameling van elementen en # de binaire bewerking, heeft de volgende eigenschappen:
1) inwendig: "a,bÎG geldt a#b ÎG (volgt logischerwijze uit de definitie van een binaire bewerking)
2) associatief: " a,b,cÎG geldt (a#b)#c=a#(b#c)
3) G bezit juist één neutraal element e zodanig dat e#a=a#e=a "aÎG
4) " aÎG, $! a^-1ÎG, het unieke invers element, zodanig dat a#a^-1=a^-1#a=e

Een commutatieve of Abelse groep heeft tevens de eigenschap dat elk element van G commuteert met elk ander element van G onder de binaire bewerking # ("a,bÎG geldt a#b=b#a)

Een ring R,#,* met R de verzameling van elementen en # en * 2 binaire bewerkingen, heeft volgende eigenschappen:
1) R,# is een abelse groep
2) R,* is inwendig (volgt logischerwijze uit de definitie van een binaire bewerking) en associatief
3) de bewerking * is distributief ten opzichte van de bewerking #, i.e. "a,b,cÎR geldt a*(b#c)=(a*b)#(a*c)

Een commutatieve ring heeft nog de eigenschap dat elk element van R commuteert met elk ander element van R onder de binaire bewerking * .

PS: Een binaire bewerking op G is een afbeelding die een element van G´G afbeeldt op G
G´G®G
(a,b)®a#b
met a,bÎG

Als oefening kan je eens controleren of R,+ en R,´ commutatieve groepen zijn.

Koen Mahieu

km
26-10-2003