WisFaq!

Niet homogene lineaire differentiaal vergelijking

Mijn probleem ziet er als volgt uit:

Y" - Y' = e^x

Ik kom er echt niet uit, en hoop dat het principe
mij uitgelegd kan worden.

Bvd. Sander

Sander
26-10-2003

Antwoord

HOMOGENE DV: Y"-Y'=0
karakteristieke vergelijking: z²-z=0 - oplossingen z=1 en z=0
oplossing: y_h(x) = A.exp(1.x) + B.exp(0.x) = A.exp(x)+B (A en B willekeurige reele constanten)

NIET-HOMOGENE DV: Y"-Y'=exp(x)
oplossing: y(x) = y_h(x) + y_p(x) met y_p(x) een willekeurige oplossing van de volledige vergelijking die lineair onafhankelijk is van de oplossingen van de homogene vergelijking.

Normaal gezien zou C.exp(x) substitueren voldoen om een constante C te vinden waarvoor die uitdrukking inderdaad een particuliere oplossing zou zijn voor de volledige vergelijking. Maar aangezien die oplossing al in de homogene zit vervat heb je er een andere nodig.

- Tip: aangezien z=1 een enkelvoudige wortel is van de karakteristieke vergelijking, zoek eens naar een particuliere oplossing van de vorm y_p(x) = C.x.exp(x)

cl
27-10-2003