WisFaq!

Dynamische modellen: differentie vergelijking

Kan iemand een duidelijke uitleg geven (stap voor stap) betreffende het oplossen van een differentievergelijking. Het gaat om de algemene oplossing van de volgende twee functies waar ik niet uitkom:

3·x_t-2·x_t-1 = 0 en
3·x_t-2·x_t-1 = 5

Daarnaast nog een klein vraagje: hoe kom ik van
l^t + 2l^t-1 = 0 tot l + 2 = 0 ?

Bedankt alvast.

Gerard
26-10-2003

Antwoord

Neem eerst de homogene vergelijking, dwz de vergelijking waarbij het rechterlid gelijk is aan 0.
Stel de oplossing voor
x_t = C·l^t
Dan is dus:
x_t-1 = C·l^t-1
Beide invullen in de differentievergelijking geeft:
3·C·l^t - 2·C·l^t-1 = 0
Nu kun je C·l^t-1 buiten haakjes halen:
C·l^t-1·(3l - 2) = 0
en je vindt als oplossing l = ²/₃
Dit is dus meteen het antwoord op je tweede vraag: kwestie van buiten haakjes halen.
Dan het niet-homogene deel, in jouw voorbeeld dus 5 (het rechterlid).
Stel x_t = A (een constante, omdat het rechterlid in dit geval ook een constante is).
Invullen in de vergelijking levert:
3A - 2A = 5
dus A = 5.
De algemene oplossing is dan:
x_t = 5 + C·(²/₃)^t
Ik hoop dat dit duidelijk genoeg is, anders graag even aangeven waar je afhaakt.
groet,

Anneke
26-10-2003