WisFaq!

Driehoekige stapeling - sum(i^k)

Er is een driehoekig grondvlak en voor een stapeling van 4 hoog zijn 10 + 6 + 3 + 1 = 20 kogels nodig. Voor deze getallen heb ik al gevondfen dat per laag geldt: 1/2n (n +1) Nu moet ik een formule vinden waarmee ik het aantal kogels kan uitrekenen in een piramide van n lagen hoog. ik heb het al geprobeerd met een Somformule in de vorm Sn = ¹/₂ n (u1 + u n) = Sn ¹/₂ n (1 + (1/2n 9n + 1)) maar dan kom ik niet op d (n)= 1/6 n³ = ¹/₂ n² + 1/3n en dat is het juiste antwoord. Alleen weet ik dus niet hoe ik daaraan kan komen.

marina meijer
17-10-2003

Antwoord

Hoi,

Je hebt het voor een deel correct. Je had het mis waar je S_n=n.(u₁+u_n)/2 veronderstelt. Deze formule geldt enkel voor rekenkundige rijen.

Een andere poging dan maar. Op de i-de laag vinden we L_i=i.(i+1)/2=(i²+i)/2 kogels. Als er zo n lagen zijn, dan wil je eigenlijk P_n=sum(L_i:i=1..n)=[sum(i²:i=1..n)+sum(i:i=1..n)]/2.

Het stukje sum(i:i=1..n) is een rekenkundige rij en hiervoor vind je makkelijk: sum(i:i=1..n)=n.(n+1)/2

Voor sum(i²:i=1..n) doen we het iets anders omdat er hier geen kant-en-klaar formuletje voor bestaat. We bekijken S_n =(xⁿ-1)/(x-1)=sum(xⁱ:i=0..n-1) zodat x.S_n =x.(xⁿ-1)/(x-1)=sum(xⁱ:i=1..n) en zodat d[x.S_n]/dx=sum(i.x^i-1:i=1..n) en uiteindelijk: sum(i.xⁱ:i=1..n)=x.d[x.S_n]/dx. Op dezelfde manier verder rekenend, kunnen we een uitdrukking afleiden voor sum(i².xⁱ:i=1..n) en wanneer we van beide leden de limiet voor x $\to$1 nemen, vinden we een uitdrukking voor sum(i²:i=1..n).
Deze aanpak laat je toe alle uitdrukkingen van de vorm s_k(n)=sum(i^k:i=1..n) in gesloten vorm te schrijven. Bij Dr.Math vond ik ooit een andere aanpak hiervoor, gebaseerd op de vaststelling dat s_k(n) een veelterm van graad k+1 is in n en de techniek van de onbepaalde coëfficiënten.

Tot slot kan je de formule heel makkelijk afleiden uit de driehoek van Pascal. De opeenvolgende schuine zijden bevatten sommen van de voorgaande zijden. De buitenste bevat enkel 1, de tweede de natuurlijke getallen, de derde de termen van L en de vierde de termen van P. Je kan je onmiddellijk aflezen dat P_n=C(n,3)=n.(n-1).(n-2)/6

Je kan ook best eens zoeken op deze site naar Bolstapeling.

Groetjes,
Johan

(met dank aan Fvl, GM en Anneke voor hun suggesties )

andros
24-10-2003