WisFaq!

Tweedegraads functie

Het gaat om een tweedegraadsfunctie en deze is in een paraboolvorm mooi te zien. (Complimenten voor de software op de site op basis van een 3-punten analyse !, ik wil de asp-best hebben..)

Het probleem waar ik mee zit: Ik weet weinig over de gegeven ax2+bx+c, Ik weet de c, en dat de xTop een van de drie getallen is rondom of op de SQR van c.

Dat is het. Ik zou graag willen weten of het mogelijk is de y-coordinaat te pakken van de top want dan weten we de rest ook en of er iets te zeggen is over het bereik van deze y-top. Het gaat om een fundamenteel probleem, terwijl mijn wiskundige kennis zeer beperkt is.

Voorbeeld1 c=119, xtop= (1bit)+/-sqr(119)=8.....16 (2^2 ...2^4)

In dit geval is a=1, b=-24, c=119, top=(12,-25)

Voorbeeld2: c=253, xtop= sqr(253)=15.9+/-1 bit dus
= 2^3 ... 2^5)

oplossing: a=1, b=-34, c=253, top=(17,-36)

Ik ben zeeer benieuwd, is vast een eitje.

David, (amateur)

david
16-10-2003

Antwoord

Met de bedoelde asp. bedoel je waarschijnlijk dit script. Dat is een Javascript. De bron kun je zo bekijken met de browser.

Bij de vergelijking y=ax²+bx+c kun je de x-coordinaat van de top vinden uit x_top=-^b/_2a.
Ik noem x_top voor het gemak even p (dat typt makkelijker) en y_top=q
Er geldt nu p=-^b/_2a =b=-2ap.
Dit invullen in y=ax²+bx+c levert
y=ax²-2apx+c.
Voor q krijgen we nu: q=ap²-2ap²+c=-ap²+c.

Het is kennelijk de bedoeling dat p en y_top geheel zijn.
Als je wilt dat q geheel is (c is kennelijk al geheel) moet je a en p zo kiezen, dat a´p² geheel is.
Alle a-waarden die een geheel veelvoud zijn van 1/(p²) kunnen dan worden gekozen.
Als c een breuk is moet je ervoor zorgen dat q=-ap²+c geheel is.
Er geldt dan ap²=c-q. Dus a=(c-q)/p²
Door nu voor p en q gehele getallen te kiezen kun je de a-waarden waarvoor de top gehele coordinaten heeft berekenen.

Uit nadere informatie blijkt dat ook de nulpunten gehele getallen moeten zijn.
Het is dan handiger uit te gaan van deze twee nulpunten i.p.v. van c.
De nulpuntsvergelijking van een parabool is van de vorm
y=a(x-s)(x-t) met nulpunten x=s en x=t.
Uitwerken levert dan y=a(x²-(s+t)x+st)=ax²-a(s+t)x+ast.
De x-coordinaat van de top ligt midden tussen de nulpunten s en t. Dit levert x_top=¹/₂(s+t) en dit moet geheel zijn.
Kies dus voor s en t getallen zo, dat ¹/₂(s+t) geheel is. Dus s+t=even, dus s en t beide even of beide oneven.
Invullen van x_top=¹/₂(s+t) in y=a(x-s)(x-t) levert
y=a(¹/₂(s+t)-s)(¹/₂(s+t)-t)=¹/₄a(s+t-2s)(s+t-2t)=¹/₄a(t-s)(s-t)=-¹/₄a(s-t)².
Door bij gekozen s en t en a zo te kiezen dat ¹/₄a(s-t)² geheel is is y_top ook geheel.
Gemakkelijk kunnen de bijbehorende waarden van b en c in de vergelijking y=ax²+bx+c worden berekend (b=-a(s+t) en c=a´s´t.)

hk
17-10-2003