WisFaq!

Interpolatiepolynoom van Lagrange

Hallo~!

Ik snap niet echt hoe ik deze interpolatie moet toepassen. Bij de vraag:

Vind de polynoom van de kleinste graad waarvoor geldt:

  x  0   1   2   3   4   5
p(x) 1  -1   1  -1   1  -1

Hoe pas ik hier de interpolatie van Lagrange toe??
Alvast bedankt~!

Stefan
14-10-2003

Antwoord

Een Lagrange veelterm is een veelterm van graad (n-1) die door n vooropgegeven punten gaat.

Hier heb je 6 punten gegeven, dus de veelterm zal graad 5 hebben.
Een veelterm P door x_i met f(x_i) als beeld moet dus zo zijn dat P_i(x_i)=f(x_i)=y_i.

De Lagrange veelterm is nu de som van dergelijke veeltermen P_i nl:
P(x)=åP_i
met als bijkomende eigenschap dat
P_i(x_j)= 0 als i¹j.

Zo krijg je dat P_i=y_iÕ_j¹i^(x-x_j)/_(xi-xj).

Stel P₀(0)=1 dan is ( f(0)=1 )

P₀=f(0)^{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}/_{(0-1)(0-2)(0-3)(0-4)(0-5)}
=-¹/₁₂₀(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5).
Ga zelf eens na dat P₀(0)=1 en dat voor alle x_i¹0 geldt dat P₀(x_i)=0.

Bereken zelf P₁,P₂,P₃,P₄ en P₅ en dan volgt de Lagrange interpolatieveelterm vanzelf.

Zie Lagrange Interpolating Polynomial [http://mathworld.wolfram.com/LagrangeInterpolatingPolynomial.html]

Els
15-10-2003