WisFaq!

Bewijs door contrapositie

Ik ben op zoek naar een voorbeeld waarbij deze manier van bewijzen wordt gebruikt . Iemand een tip voor mij ?

rvg
7-10-2003

Antwoord

Contrapositie = logische omkering
Op deze wet uit de logica berust het 'bewijs uit het ongerijmde'.
De wet zegt, dat de uitspraken
(1) A $\Rightarrow$ B
(2) $\neg$B $\Rightarrow$ $\neg$A
gelijkwaardig zijn.

Het misschien wel bekendste voorbeeld van een dergelijk bewijs is het bewijs, dat $\sqrt{ }$2 irrationaal is.
Zie hiervoor Vraag 264.

Een ander voorbeeld (nu maar uit de meetkunde).
We weten:
(Definitie) Een raaklijn aan een cirkel is een lijn die EEN punt met die cirkel gemeenschappelijk heeft.

We mogen (oa.) de volgende stelling gebruiken:
(Stelling) Als een lijn door een punt gaat binnen een cirkel, dan heeft die lijn TWEE punten met die cirkel gemeenschappelijk.

Te bewijzen:
(A) de lijn m raakt in P aan de cirkel (middelpunt O, straal r) $\Rightarrow$ (B) OP $\bot$ m.

En dan het bewijs door logische omkering:
Stel OP staat niet loodrecht op m ($\neg$B), dan is er een lijn door O die wèl loodrecht staat op m, en wel in een punt Q op m (dat verschilt van P). Driehoek OPQ is dan rechthoekig in Q, zodat OP $>$ OQ.
Met andere woorden: OQ $<$ r. Dus Q ligt binnen de cirkel. De lijn m gaat door Q, dus m is geen raaklijn ($\neg$A).
We hebben bewezen: $\neg$B $\Rightarrow$ $\neg$A.
Volgens de wet van de contrapositie is dan ook A $\Rightarrow$ B (waar).

Oefening (als je wilt).
Welke andere stellingen zijn in het bovenstaande bewijs gebruikt?

dk
7-10-2003