WisFaq!

Trilling

Ik ben nu bezig met trillingen met verschillende frequenties en ik kom niet uit deze opgave:
Gegeven: Een punt P doorloopt een baan met parametervoorstelling X(t)=sin.t en y(t)=sin.3t
De vraag: De baan is een derdegraadsfunctie van het type y=-x(ax²-b). Bereken a en b.
Ik heb werkelijk geen idee hoe ik deze opgave aan moet pakken. Moet dat met de GR? of moet je beginnen te rommelen met de formules ofzo, dan zou ik y en x invullen, maar dan? ik ben benieuwd...

Esther
29-9-2003

Antwoord

Welke aanpak je ook volgt: het is de bedoeling dat je de variabele t (de zogenaamde parameter) kwijt raakt.

Merk ten eerste op dat voor zowel de x als voor de y geldt dat beide ingesloten zitten in het interval [-1,1].
De periode van sin(t) bedraagt 2p en de periode van sin(3t) bedraagt 2/3.p
Om dus de grafiek volledig te kunnen zien, moet t een interval dat minstens 2p breed is kunnen doorlopen, want anders kan de x-waarde zich niet volledig ontplooien.
Laten we daarom afspreken dat t zich beweegt van t = 0 naar t = 2p

Als je de twee vergelijkingen in je rekenmachine invoert (denk eraan: op radialen en ook nog van function naar parameter switchen, beide met de mode-knop) en je laat de GR de figuur tekenen, dan zie je een paar mooie punten. Dat zijn bijvoorbeeld de oorsprong (0,0) en de eindpunten (1,-1) en (-1,1). De t-waarden die hierbij horen zijn t = 0 en t = ¹/₂p en t = 1¹/₂p.

Vul de coördinaten van dit drietal nu eens in bij de vergelijking y = -x(ax²-b)

Het punt (0,0) levert op dat 0 = -0.(0a-b) ofwel 0 = 0.
Klopt wel, maar het levert geen a en/of b op.

Het punt (-1,1) geeft 1 = 1.(a-b), dus a-b = 1
Het punt (1,-1) geeft -1=-1.(a-b), dus weer a-b = 1

Omdat deze twee laatste punten hetzelfde opleveren, halen we er nog een ander punt bij. Op zich kan elk punt worden gekozen, maar als het even kan heb je natuurlijk graag een mooi punt. Neem daarvoor bijv. t = 1/6.p
Dat geeft het punt (¹/₂,1) en dat vul je nu ook weer in bij de x/y-vergelijking.
Je vindt weer een verband tussen a en b en tezamen met a-b=1 kom je er dan wel uit.

MBL
29-9-2003