WisFaq!

Zwaartepunt bepalen

Hallo,

Je hebt een kegel, van hoogte h, en straal r. Het moment vann de tegel tov de top is gegeven, namelijk:

h
ò x·p·((r²·x²)/h²) dx
0

Hoe toon je dan aan waar het zwaartepunt ligt?

Alvast bedankt!

RS
24-9-2003

Antwoord

Laat ik beginnen dit uit te leggen aan de hand van een heel eenvoudige situatie:

Gesteld je hebt een assenstelsel (x-y) en op de x-as liggen 2 puntmassa's m1 en m2.
m1 ligt op punt x1 en m2 ligt op x2.
dan ligt het zwaartepunt x_z op (m1.x1+m2.x2)/(m1+m2)

nu naar jouw kegel.
De kegel ligt bij jou op z'n kant, met de top van de kegel in de oorsprong.
In feite wordt deze kegel in oneindig veel dunne plakjes opgedeeld en elk plakje ligt op een bepaalde afstand x van de oorsprong.
Dus in feite heb je bij jouw kegel zoiets als
x_z=(m1x1+m2x2+m3x3+.......)/(m1+m2+m3+......)

in deze breuk is de teller gelijk aan de integraal die je noemt. Ga dit na!!

De noemer van de breuk is de optelsom van de massa's van alle plakjes. Maar in feite is dit weer precies dezelfde integraal maar dan zonder de eerstgenoemde x.

x_z={òx·p.((r²·x²)/h²)dx}/{òp.((r²·x²)/h²)dx}

teller = òx·p.((r²·x²)/h²)dx
= òp·x³·r²/h² dx
= p·r²/h²·òx³dx
= p·r²/h²·¹/₄·h⁴
= p·r²·h²/4

noemer = òp.((r²·x²)/h²)dx
= p·r²/h²·òx²dx
= p·r²/h²·(h³/3)
= p·r²·h/3

dus teller/noemer= ....

We gaan ervanuit dat de dichtheid van de kegel overal evengroot is: de kegel is "homogeen".
Strikt genomen zouden we de dichtheid mee moeten nemen in de berekening. We praten immers over "massa" en "zwaartepunt". maar omdat de dichtheid een constante is (dus niet afhangt van x) vallen ze in teller en noemer tegen elkaar weg.

Had de dichtheid r wèl van de positie x afgehangen, dan is in feite r=r(x) en had de berekening voor het zwaartepunt geluid:
x_z={òx·r(x)·p.((r²·x²)/h²)dx}/{òr(x)·p.((r²·x²)/h²)dx}
dit even ter info.

groeten,
martijn

mg
24-9-2003