WisFaq!

Som van cos² +/- 120°

Ik zit vast bij de volgende vraag:
Bewijs, voor elke x waarvoor de vermelde goniometrische getallen bestaan:

cos²x + cos²(120°+x) + cos²(120°-x)= 3/2

Zouden jullie me verder kunnen helpen?
Alvast bedankt!

Robby
23-9-2003

Antwoord

Hoi,

We noteren a=2p/3 (120°) en onderzoeken of we iets leuks kunnen maken van f(x)=cos²(x)+cos²(x+a)+cos²(x-a). Je opgave suggereert dat deze uitdrukking onafhankelijk zou zijn van x. Je zou dus kunnen bewijzen dat df(x)/dx=0 zodat f(x)=f(0)=1+2cos²(a)=2+cos(2a). Voor onze waarde van a is dit inderdaad 3/2.
Welnu df(x)/dx=-sin(2x).(1+2.cos(2a)). En deze uitdrukking is inderdaad onafhankelijk van x wanneer cos(2a)=-1/2. We hebben dus niet enkel bewezen dat de stelling waar is, maar ook voor alle waarden van a=±p/3+kp.

Goniometrisch kan natuurlijk ook...
2.f(x)=
2.cos²(x)+2.cos²(x+a)+2.cos²(x-a)=
(1+cos(2x))+(1+cos(2x+2a))+(1+cos(2x-2a))=
3+cos(2x)+cos(2x).cos(2a)-sin(2x).sin(2a)+cos(2x).cos(2a)+sin(2x).sin(2a)=
3+cos(2x).[1+2.cos(2a)]

En met cos(2a)=-1/2 zal f(x)=3/2 voor alle x...

Groetjes,
Johan

andros
23-9-2003