WisFaq!

Complexe opgave

Hai,

In welk deel van het complexe vlak ligt het getal 1/1-z,
wanneer z in de open eenheidsschijf ligt (d.i. de verzameling van getallen zÎ waarvoor de absolute waarde van z1)?

Ik weet echt niet hoe ik hier uit moet komen!!!

Groeten

Angela Brands
14-9-2003

Antwoord

Omdat de functie f(z)=1/(1-z) vrij "braaf" is (ik laat in het midden wat daar precies wordt onder verstaan) kan je het beeld gebied bepalen door gewoon de rand om te zetten.

Neem dus een algemeen punt van de rand, z=exp(iq), met q tussen 0 en 2p en bereken w=1/(1-z). Je bekomt dat Re(w)=1/2 en Im(w)=(1/2)sin(q)/(cos(q)-1). Aangezien dit laatste, voor varierende q, alle reele getallen bestrijkt, is het beeld van de rand |z|=1 dus de rechte Re(w)=1/2. Je kan nu bijvoorbeeld de oorsprong invullen om te bepalen welk van de twee halfvlakken die door Re(w)=1/2 ontstaan, het juiste is.

cl
14-9-2003