WisFaq!

Differentiaalvergelijking

Zoek V in functie van t:
3·(dV/dt)= -2V als V(2)=5

Zoek Q in functie van t (R,C en E zijn constanten):
R·(dQ/dt)+ Q/C = E als Q(0)=0

Zoek x in functie van t (m,k,A zijn constanten):
m·(d²x/dt²)=-kx als x(0)=A en x(0)=B

Ik kom niet uit deze differentiaalvergelijkingen. Een vergelijking als deze: dy/dx=-5x als y(0)=2 kan ik heel makkelijk oplossen, maar zodra de y aan de andere kant staat snap ik het niet meer.

Tamara
13-9-2003

Antwoord

Je zegt dat je een vgl als dy/dx=-5x makkelijk kan oplossen, maar niet als er een y aan de andere kant staat.
Ik neem dan aan dat je daarmee bedoelt bijvoorbeeld:
dy/dx=-5y

We gaan even een 'treedje terug'.
wat is de oplossing van dy/dx=y?
Wel: EEN oplossing is y=e^x
Vul deze namelijk maar in in de dv, en dan zie je dat het linkerlid gelijk is aan het rechterlid.
Echter, ook y=2e^x en y=-7e^x zijn oplossingen. Check maar door ze in te vullen in de dv: links is weer gelijk aan rechts.
Dus algemeen is de oplossing y=A.e^x
met A een nader te bepalen constante.

Nu iets verder.
Stel je dv is dy/dx=3y
(Ofwel: je wilt een functie y(x) vinden waarvan de afgeleide gelijk is aan 3keer de functie-zelf.)
Wel, EEN oplossing is y=e^3x, want: vul 'm maar in.
maar ook y=100e^3x en y=-¹/₄.e^3x om maar eens een paar te noemen, zijn geldige oplossingen.
Dus algemeen is de oplossing y=A.e^3x
Waarbij A weer volgt uit de randvoorwaarde.

Het gaat bij differentiaalvergelijkingen er vaak een beetje om om een PATROON te herkennen.
Kijk maar naar jouw eerste probleem:
3.(dV/dt)=-2V. Dit lijkt als twee druppels water op hetgeen ik hiervóór beschreven heb, immers:
dV/dt=-2/3.V
dussss: V(t)=A.e^......
Dit zou je dus nu verder zèlf moeten kunnen.

Voor je tweede probleem moet je een ànder patroontje herkennen. Dat geef ik je hier:
stel dy/dx + p.y = q met p en q constantes.

Dan is de oplossing y=A.e^-p.x + q/p
Met A een constante die volgt uit de randvoorwaarde
(ga dit eens na door in te vullen!)
Vergelijk jouw 2e probleem met dit patroon. Nu kun je de oplossing zelf achterhalen.

3e probleem.
wederom een patroon dat ik je geef:
d²y/dx² + p.y=0 (met p een of andere constante)Þ
y=A.sin(x.Öp) + B.cos(x.Öp)
A en B volgen uit de randvw.
Nu heb je opeens TWEE onbekende constantes A en B maar dat heeft te maken met het feit dat het een TWEEDE orde differentiaalvgl was. (dwz met een tweede afgeleide erin).

Ook hiermee kun je jouw probleem 'tackelen'.
d²x/dt²+(k/m).x=0 .... etc.

groeten,
martijn

mg
14-9-2003