WisFaq!

Rationaal getal

Hallo beste mensen,

Weten jullie misschien hoe ik aan kan tonen dat elke repeterende decimale breuk een rationaal getal voorstelt?

Liefs Angela

Angela Brands
7-9-2003

Antwoord

Hallo Angela,

Laten we het aan de hand van een voorbeeld bekijken. Neem bijvoorbeeld het getal 0,1231231231231.... Het gedeelte dat steeds herhaald wordt is 123. Dit getal is de breuk:
123/999=41/333.

Algemeen geldt het volgende: stel het herhaalde getal x heeft n cijfers (in het voorbeeld x=123 en n=3) dan is de gezochte breuk:

x/(10ⁿ-1)

(10ⁿ-1) is natuurlijk gewoon n negens.

Met deze stelling kun je elk getal van de vorm 0,abc....abc....abc... etc. als breuk schrijven. Natuurlijk heb ik nu nog niet bewezen dat deze stelling inderdaad waar is. Dat ga ik ook niet doen. Je kunt het voor jezelf wel aannemelijk maken door staart te delen voor een aantal getallen. In ons voorbeeld:

999/123\0,12312312....

Nog een getal met repeterende decimale ontwikkeling:

1,15384615384615...

Volgens de stelling is dit dus

1 + 53846/999999=999999/999999+153846/999999=1153845/999999

vereenvoudigen levert 15/13, dus 1,15384615384615...=15/13

groet,

Casper

cz
7-9-2003