WisFaq!

Goniometrische vergelijking

ik probeer al een hele tijd volgende goniometrische vergelijking op te lossen: 0 = 2cos(x)+cos(2x)
Mijn eerste idee was om de gepaste regel van Simpson toe te passen, maar er staat nog een 2 als coefficiënt voor cos(x), dus ik denk niet dat de regel dan toepasbaar is.
Volgende idee was om de vergelijking om te zetten via de halveringsregels naar 1/2 = cos(x)+ cos²(x), maar ik denk niet dat de regel van simpson toegelaten is als er nog een macht staat.
Kortom: beats me, no idea, please help me

jochen bertels
5-9-2003

Antwoord

Beste Jochen,

Ken je de volgende verdubbelingsformule cos(2x) = 2cos²x - 1? (Dit volgt uit Simpsons somformule cos(x + x) = ...).
Dit vervangen we in de vergelijking dus ook.
2cos(x) + (2cos²x - 1) = 0
2cos²x + 2cos(x) - 1 = 0
cos²x + cos(x) - ¹/₂ = 0
Stel u = cos(x)
u² + u - ¹/₂ = 0
D = b² - 4ac = 1 - (4·1·-¹/₂) = 3
u_1,2 = ^{(-1 ± Ö3)}/₂
Þ u₁ = -¹/₂ + ¹/₂Ö3 en u₂ = -¹/₂ - ½Ö3

Maar u werd gelijkgesteld aan cos(x), dus
cos(x) = -¹/₂ + ¹/₂Ö3 of cos(x) = -¹/₂ -½Ö3
Dit laatste kan niet, want cos(x) kan nooit kleiner dan -1 worden, dus x = ±arccos(-¹/₂ + ¹/₂Ö3) + 2kp, k ÎZ is de enige oplossing (in ).

Groetjes,

Davy.

Davy
5-9-2003