WisFaq!

Boek waarbij een aantal opeenvolgende bladzijden missen

Uit een boek missen we een aantal opeenvolgende bladzijden. De som van de nummers ervan is 9808. Welke bladzijden ontbreken er?

vermeire gunther
3-9-2003

Antwoord

Stel dat er n bladzijden ontbreken, meer bepaald de bladzijden met nummers a tot en met a+n-1. Hun som is een rekenkundige reeks met reekssom S = an + n(n-1)/2.

Manier 1

S = 9808 is een kwadratische vergelijking in n. De discriminant, 4a²-4a+78465, moet een volkomen kwadraat zijn, wil de oplossing voor n een natuurlijk getal kunnen zijn. Dat is geen garantie, maar zonder een discriminant die een volkomen kwadraat is, kan het al zeker niet.

4a²-4a+78465 = D²
(2a-1)²+78464 = D²
78464 = D²-(2a-1)²
78464 = (D+2a-1)(D-2a+1)

We moeten nu 78464=(2⁷)(613) splitsen in 2 factoren. Aangezien het aantal delers van dit getal gelijk is aan 16, kan dit op 16 verschillende manieren. Dat aantal kan je al meteen herleiden tot 8 aangezien de linkse factor duidelijk groter moet zijn dan de rechtse factor.

Twee van die ontbindingen leveren natuurlijke waarden voor a en D op, namelijk

i) 78464 = (1226)(64) zodat a=291 en D=645
ii) 78464 = (39232)(2) zodat a=9808 en D=19617

Geval i) leidt via de genoemde kwadratische vergelijking tot n=32 en n=-613. De verdwenen bladzijden zijn dan de nummers 291 tot en met 291+32-1=322, aangezien negatieve waarden voor n onzinnig zijn.

Geval ii) leidt via dezelfde vergelijking tot n=1 en n=-19616, wat overeenkomt met 1 verdwenen bladzijde met nummer 9808, de triviale oplossing dus.

Manier 2

S = 9808 is ook een lineaire vergelijking in a. Je bekomt dat

a = (-n+1)/2 + 9808/n

We onderscheiden nu twee gevallen

i) n is oneven. De eerste term is dus een geheel getal zodat de tweede term dat ook moet zijn. n moet dus deler zijn van 9808=(2^4)(613). Van de tien mogelijke delers geeft enkel n=1 aanleiding tot een natuurlijk getal voor a.

ii) n is even. De eerste term is dus (een geheel getal) + (1/2) zodat de tweede term dat ook moet zijn en dus de vorm heeft (een oneven getal)/2. Dat kan alleen als n=2^5=32, zodat de extra 2 in de noemer komt te staan.

PS: Eigenlijk zou n meteen even moeten worden verondersteld, als je er mag vanuit gaan dat de meeste bladen langs 2 zijden zijn bedrukt. Daarmee vervalt dan ook de triviale oplossing. Om dezelfde reden zou a oneven moeten zijn.

cl
4-9-2003