WisFaq!

Re: Tekenen van complexe functies

Hallo wiskundige,

Ik heb dezelfde vraag als die van Brian (f=1/z). Er is al uitleg gegeven maar ik snap het nog steeds niet. Waar ik nog wel uitkom is dat 1/z gelijk is aan z^-1.

Welke punten zijn er nou ingevuld in het grafiek? Wat is het verband tussen z en z'? Kunt u ons aub meer uitleg geven. Alvast bedankt voor de moeite!!

Groeten,

R.S.
3-9-2003

Antwoord

Complexe getallen z kunnen worden voorgesteld als punten in een vlak (daarom spreken we wel van het complexe vlak).
Zo'n z schijven we dan als z = a + bi, waarbij a en b reële getallen zijn. Een punt Z in dat vlak wordt dan vastgelegd met de coördinaten (a,b); a langs de x-as (de reële as), b langs de y-as (de imaginaire as).
Je vult dus a + bi in de formule in. Je krijgt dan
1/(a + bi) en dat complexe getal is gelijk aan
a/(a²+b²) - b/(a²+b²) . i
Z' is dan het punt met coördinaten
( a/(a²+b²), -b/(a²+b²) )
En zo geldt dat ook voor de punten A, A' en B, B'.

Bij een punt Z=(a,b) in het vlak hoort dus een complex getal z=a+bi. Dat getal vul je in in de formule z'=1/z, dat geeft een complex getal, dat je altijd in de vorm z' = a' + b'.i kan schrijven. En dat geeft weer het zogenoemde beeldpunt Z' van Z:
(a', b').

In de applet kan het punt Z vrij in het vlak bewegen. Je ziet dan ook dat het punt Z' telkens een andere positie inneemt.
Voor A en B geldt dat ook, maar A en B zijn 'gebonden' opvolgend aan een rechte lijn en aan een cirkel.

Voor een beknopte uiteenzetting over complexe getallen zie onderstaande link (maar er zijn er zeker meer, ook op WisFaq; zoeken...).

Overigens, hebben jullie (jij, Brian, Sanne?) een PO over complexe getallen?

Zie Dave Joyce's Complex numbers [http://www.clarku.edu/~djoyce/complex/]

dk
3-9-2003