WisFaq!

Re: Ongelijkheid voor reële getallen bewijzen

ja.. he.. maar . ik ben ook begonnen met een oplossing te vinden alleen zit ik vast. bij .. een stap:
a²*b/y +b²*y/a+y²*a/b a²+b²+y²
omdat aby0 hebben we
a³*b²+b³*y²+y³*a² a³*by+ab³*y+aby³
dus ook a²*(y³-aby)+b²(a³-aby)+y²(b³-aby)0

we schrijven als volgt:
a²*(y³-aby)=(a²+b²+y²)(y³-aby)-(b²+y²)(y³-aby)
b²(a³-aby)=(a²+b²+y²)(a³-aby)-(a²+y²)(a³-aby)
y²(b³-aby)=(a²+b²+y²)(b³-aby)-(a²+b²)(b³-aby)
dus
a²*(y³-aby)+b²(a³-aby)+y²(b³-aby)=
(a²+b²+y²)(a³+b³+y³-3aby) en dus weer
(a²+b²+y²)(a³+b³+y³-3aby)0
we hebben(a³+b³+y³-3aby=a³-aby+b³-aby+c³-aby)
en op dezelfde manier zoals net.. krijgen we
a³+b³+y³-3aby=(a+b+y)(a²+b²+y²-ab-by-ay)
en we hebben dus
(a²+b²+y²)(a+b+y)(a²+b²+y²-ab-by-ay)0
ik moet nu bewijzen dat a²+b²+y²-ab-by-ay0 en hier ben ik nu meebezig..

ikdevrager
1-9-2003

Antwoord

Hoi,

Je laatste ongelijkheid zou je kunnen bewijzen door (a-b)²+(b-y)²+(a-y)²0 te herwerken. Er staat wel een rekenfout in je redenering, zodat je bewijs als geheel eigenlijk niet klopt.

Collega-beantwoorder Anneke vond een heel mooie oplossing zonder calculus:

Je kan de te bewijzen ongelijkheid omvormen tot:
a²(b/y-1)+b²(y/a-1)+y²(a/b-1)0

Nu vond Anneke:
a²(b/y-1)+b²(y/a-1)+y²(a/b-1)=
[a.a²(b/y-1)+a.b²(y/a-1)+a.y²(a/b-1)]/a
[y.a²(b/y-1)+a.b²(y/a-1)+b.y²(a/b-1)]/a=
[a²(b-y)+b²(y-a)+y²(a-b)]/a=
(a-b)(b-y)(a-y)/a0

Hierbij gebruikten we (een aantal keer) dat aby0

Groetjes,
Johan

andros
8-9-2003