WisFaq!

Extremumprobleem

Beschouw een cirkel met straal R.Een rechte op afstand R/6 vh middelpunt verdeelt de cirkel in 2 cirkelsegmenten.
In het kleinste cirkelsegment wordt een veranderlijke rechthoek ingeschreven.Bepaal de rechthoek met maximale oppervlakte.
oplossing :basis=7R/12
hoogte=Ö7R/12
opppervl=7Ö7R²/24
ik heb de rechthoek in 2 gedeeld door x-as
dus rechth opp=2*b*h
basis= x-(R/6)
hoogte= f(x) cirkel: y²+x²=R²
y=Ö(R²-x²)
oppervl: 2-((R/3)*(Ö(R²-x²)))

dan geraak ik ni verder ik zou x of R moeten kunnen vinden???

nele
1-9-2003

Antwoord

Je hebt blijkbaar de rechte evenwijdig aan de y-as verondersteld. In de keuze van wat je x noemt, ben je natuurlijk vrij. Sommige keuzes zijn eenvoudiger dan andere, maar ik ga nu mee in jouw keuze. De oppervlakte wordt dan gegeven door

A(x) = 2(x-R/6)Ö(R²-x²)

De oppervlakte is een continue en afleidbare functie van x binnen het domein van het probleem. De extrema komen dus overeen met punten waar de afgeleide van A(x) gelijk is aan nul.

Heb je hier ook hulp voor nodig? Het resultaat is dat x=3R/4, daaruit volgen dan meteen ook de afmetingen van de rechthoek, namelijk

basis = x-R/6 = 7R/12
"halve hoogte" = Ö(R²-x²) = (R/4).Ö7 (dat is niet wat er bij jou staat)

zodat de maximale oppervlakte inderdaad gelijk is aan

A(max) = (7Ö7)R²/24

cl
1-9-2003