WisFaq!

Integratie dmv substitutie

bereken 1
I=(bep. integraal)(ln (1+x))\(1+x²) dx
0

door de substitutie x=(1-t)\(1+t) wordt I omgevormd tot een uitdrukking waarin I opnieuw voorkomt. bepaal I

als ik die substitutie invul kan ik niet direct verder, heb al vanal geprobeerd.
de uitkomst heb ik ook:(pln2)\8
ma ik zou graag ook de berekening weten

nele
1-9-2003

Antwoord

Hoi,

Geniale zet natuurlijk om x=(1-t)/(1+t) te nemen...

We rekenen even door wat dit precies impliceert voor de 'onderdelen' van de integraal:
x=0 Þ t=1
x=1 Þ t=0
1+x=2/(1+t)
1+x²=2.(1+t²)/(1+t)²
dx=[-1.(1+t)-(1-t).1]/(1+t)².dt=-2dt/(1+t)²

We hebben dus:
I =
Int(ln(1+x)/(1+x²) dx,x:0..1) =
Int(ln[2/(1+t)].(1+t)²/[2.(1+t²)].(-2)/(1+t)² dt,t:1..0) =
Int([ln(2)-ln(1+t)]/(1+t²) dt,t:0..1) =
ln(2).Int(1/(1+t²) dt,t:0..1) - Int(ln(1+t)/(1+t²) dt,t:0..1) =
ln(2).I₀ - Int(ln(1+x)/(1+x²) dx,x:0..1) =
ln(2).I₀ - I

Zodat:
2.I=ln(2).I₀ en dus:
I=ln(2).I₀/2

Hierin is
I₀ =
Int(1/(1+t²) dt,t:0..1) =
bgtg(1)-bgtg(0) =
p/4

Zodat
I = ln(2).(p/4)/2 = p.ln(2)/8

Groetjes,
Johan

andros
1-9-2003