WisFaq!

Vergelijkingen

1.hoe kun je met complexe getallen alle tweedegraadsvergelijkingen oplossen (dus met name degene waarbij discriminant negatief is)??
2.kunt u een voorbeeld geven van een vergelijking: ax³+bx²+cx+d=0 waarvan de drie oplossingen niet alledrie reeel zijn (met uitwerking)???

Brian B
31-8-2003

Antwoord

Hi Brian,

In de abc-formule wordt de wortel van de disciminant getrokken. Als de dicriminant negatief is, gaat dat dus niet. Ik redeneer altijd als volgt (D=discriminant):
-Op de plaats van ÖD komt een getal z waarvoor geldt dat z²=D.
-Dus (iz)²=-D.
-Als D0 dan is -D een positief getal. Nu kunnen we dus aan beide kanten wortel trekken:
iz=Ö(-D) Û z=Ö(-D)/i
-Beide kanten met i vermenigvuldigen geeft z=-iÖ(-D)
-Nu zijn de uitkomsten x=(-b±z)/(2a), dus x=(-b±-iÖ(-D))/(2a)
Door de ± kunnen we de - voor de i natuurlijk weglaten

Het is natuurlijk niet handig deze procedure steeds te bedenken. In de praktijk maak je de discriminant gewoon positief, en zet je een i voor de wortel. De vergelijking x²+2x+2=0 heeft dus oplossingen
x=(-2±iÖ4)/2, dus x=i-1 of x=-i-1.

Dan je tweede vraag. De vergelijking x³+2x²+2x=0 heeft 3 oplossingen waarvan 1 reeel. Deze reele oplossing zien we natuurlijk meteen: x=0. Dit stelt ons in staat de vergelijking als volgt op te schrijven: x(x²+2x+2)=0. Nu weten we x=0 of x²+2x+2=0, deze laatste vergelijking hebben we al opgelost en heeft oplossingen x=i-1 en x=-i-1; en dat zijn de twee niet-reele oplossingen van de vergelijking.

groet,

Casper

cz
31-8-2003